Упр.457 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол $$60^\circ$$ с плоскостью основания. Найдите объём призмы, если сторона основания равна $$a$$.

Подробный ответ

Пусть $$ABC A_1B_1C_1$$ — правильная треугольная призма, $$AB=BC=CA=a$$. Тогда основание призмы — равносторонний треугольник, поэтому

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.$$

Объём призмы равен

$$V=S_{ABC}\cdot h,$$

где $$h$$ — высота призмы.

Рассмотрим сечение, проходящее через сторону $$AB$$ нижнего основания и противолежащую вершину $$C_1$$ верхнего основания. Обозначим через $$H$$ точку пересечения этого сечения с прямой $$AB$$. Так как призма правильная, то $$C_1H$$ — высота в равностороннем треугольнике $$ABC_1$$, а значит, $$H$$ — середина $$AB$$ и $$CH$$ — медиана равностороннего треугольника $$ABC$$, то есть

$$CH=\frac{\sqrt{3}}{2}a.$$

По условию угол между сечением и плоскостью основания равен $$60^\circ$$, следовательно, линейный угол двугранного угла равен $$\angle C_1HC=60^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$CC_1H$$ получаем

$$\tan 60^\circ=\frac{CC_1}{CH}.$$

Тогда

$$CC_1=CH\cdot \tan 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot \sqrt{3}=\frac{3a}{2}.$$

Значит, высота призмы

$$h=\frac{3a}{2}.$$

Теперь найдём объём:

$$V=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot \frac{3a}{2} =\frac{3\sqrt{3}}{8}a^3.$$