Упр.456 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите объём правильной $$n$$-угольной призмы, у которой каждое ребро равно $$a$$, если: а) $$n=3$$; б) $$n=4$$; в) $$n=6$$; г) $$n=8$$.

Объём правильной призмы равен произведению площади основания на высоту:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h.$$

Так как призма правильная, её основание — правильный $$n$$-угольник со стороной $$a$$, а высота равна ребру призмы, то есть $$h=a$$.

Площадь правильного $$n$$-угольника выражается формулой

$$S_{\text{осн}}=n\cdot S_{\triangle AOB},$$

где $$O$$ — центр многоугольника, а $$A$$ и $$B$$ — соседние вершины. Тогда

$$S_{\triangle AOB}=\frac12\cdot AB\cdot OH.$$

Здесь $$AB=a$$, а

$$OH=\frac12 a\cdot \ctg\frac{180^\circ}{n}.$$

Следовательно,

$$S_{\triangle AOB}=\frac12\cdot a\cdot \frac12 a\ctg\frac{180^\circ}{n}=\frac{a^2}{4}\ctg\frac{180^\circ}{n},$$

и значит

$$S_{\text{осн}}=\frac{na^2}{4}\ctg\frac{180^\circ}{n}.$$

Тогда объём призмы:

$$V=\frac{na^3}{4}\ctg\frac{180^\circ}{n}.$$

Подставим значения $$n$$:

$$n=3:\quad V=\frac{3a^3}{4}\ctg 60^\circ=\frac{3a^3}{4}\cdot \frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{4}a^3.$$

$$n=4:\quad V=\frac{4a^3}{4}\ctg 45^\circ=a^3.$$

$$n=6:\quad V=\frac{6a^3}{4}\ctg 30^\circ=\frac{6a^3}{4}\cdot \sqrt3=\frac{3\sqrt3}{2}a^3.$$

$$n=8:\quad V=\frac{8a^3}{4}\ctg 22{,}5^\circ=2a^3\ctg 22{,}5^\circ.$$

Используем формулу

$$\ctg 22{,}5^\circ=\sqrt2+1,$$

тогда

$$V=2(\sqrt2+1)a^3.$$

Ответ

$$V_{n=3}=\frac{\sqrt3}{4}a^3,\quad V_{n=4}=a^3,\quad V_{n=6}=\frac{3\sqrt3}{2}a^3,\quad V_{n=8}=2(\sqrt2+1)a^3.$$