Упр.455 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием прямой призмы является параллелограмм. Через сторону основания, равную $$a$$, и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, составляющее угол $$P$$ с плоскостью основания. Площадь сечения равна $$Q$$. Найдите объём данной призмы.
Обозначим через $$h$$ высоту призмы. Тогда
$$V=S_{\text{осн}} \cdot h.$$
Пусть сечение проходит через сторону основания длины $$a$$ и противолежащую ей сторону другого основания. Тогда это сечение — параллелограмм, одна из его сторон равна $$a$$, а площадь равна $$Q$$.
Обозначим через $$l$$ высоту этого параллелограмма, опущенную на сторону $$a$$. Тогда
$$Q=a l,$$
откуда
$$l=\frac{Q}{a}.$$
Эта высота лежит в плоскости сечения и образует с плоскостью основания угол $$\beta$$, значит высота призмы равна
$$h=l\sin\beta=\frac{Q}{a}\sin\beta.$$
Площадь основания призмы равна площади параллелограмма:
$$S_{\text{осн}}=a\cdot l\cos\beta=a\cdot \frac{Q}{a}\cos\beta=Q\cos\beta.$$
Тогда объём призмы
$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=Q\cos\beta\cdot \frac{Q}{a}\sin\beta=\frac{Q^2\cos\beta\sin\beta}{a}.$$
Ответ
$$V=\frac{Q^2\cos\beta\sin\beta}{a}$$
