Упр.454 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите объём прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$, если $$AB=BC$$, $$\angle ABC=\alpha$$, диагональ $$A_1C$$ равна $$1$$ и составляет с плоскостью основания угол $$р$$.

Подробный ответ

Пусть $$A_1C=l$$, $$\angle ACA_1=\beta$$, $$\angle ABC=\alpha$$. Тогда объём призмы равен

$$V=S_{ABC}\cdot h,$$

где $$h=CC_1$$ — высота призмы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACA_1$$. Так как $$A_1C$$ — диагональ, а $$\angle ACA_1=\beta$$, то

$$AC=l\cos\beta,\qquad AA_1=l\sin\beta.$$

По условию $$AB=BC$$, значит треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$. Тогда высота $$BD$$, проведённая к основанию $$AC$$, является также медианой и биссектрисой, поэтому

$$AD=\frac{AC}{2}=\frac{l\cos\beta}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABD$$ имеем

$$BD=AD\cdot \ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{l\cos\beta}{2}\ctg\frac{\alpha}{2}.$$

Площадь основания:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BD=\frac12\cdot l\cos\beta\cdot \frac{l\cos\beta}{2}\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{l^2\cos^2\beta}{4}\ctg\frac{\alpha}{2}.$$

Высота призмы равна

$$h=CC_1=AA_1=l\sin\beta.$$

Тогда

$$V=S_{ABC}\cdot h=\frac{l^2\cos^2\beta}{4}\ctg\frac{\alpha}{2}\cdot l\sin\beta=\frac{l^3}{4}\sin\beta\cos^2\beta\ctg\frac{\alpha}{2}.$$

Используя формулу $$\sin 2\beta=2\sin\beta\cos\beta$$, получаем

$$V=\frac{l^3}{8}\sin(2\beta)\cos\beta\ctg\frac{\alpha}{2}.$$