Упр.454 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем прямой призмы ABCAiBiCi, если AB = ВС, ZABC = а, диагональ A1C равна 1 и составляет с плоскостью основания угол р.

Подробный ответ

Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:

$$V=S_{\triangle ABC}\cdot AA_1.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACA_1$$. Так как диагональ $$A_1C=1$$ образует с плоскостью основания угол $$\beta$$, то

$$AC=A_1C\cos\beta=\cos\beta,$$

$$AA_1=A_1C\sin\beta=\sin\beta.$$

Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, поскольку $$AB=BC$$. Значит, высота $$BD$$, проведённая к основанию $$AC$$, является также медианой и биссектрисой. Поэтому

$$AD=\frac{AC}{2}=\frac{\cos\beta}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABD$$ имеем

$$BD=AD\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{\cos\beta}{2}\ctg\frac{\alpha}{2}.$$

Теперь найдём площадь основания:

$$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot \cos\beta\cdot \frac{\cos\beta}{2}\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{\cos^2\beta}{4}\ctg\frac{\alpha}{2}.$$

Тогда объём призмы равен

$$V=S_{\triangle ABC}\cdot AA_1=\frac{\cos^2\beta}{4}\ctg\frac{\alpha}{2}\cdot \sin\beta.$$

Преобразуем:

$$V=\frac{1}{8}\sin 2\beta\cdot \cos\beta\cdot \ctg\frac{\alpha}{2}.$$