Упр.453 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем прямой призмы ABCAlBlCi, если AB = BC = m, ZABC = ф и BBi = BD, где BD — высота треугольника ABC.

Подробный ответ

Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:

$$V=S_{ABC}\cdot BB_1.$$

Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, так как $$AB=BC=m$$. Высота $$BD$$, проведённая к основанию $$AC$$, в равнобедренном треугольнике является также медианой и биссектрисой. Поэтому

$$\angle ABD=\frac{\varphi}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABD$$ имеем:

$$BD=AB\cos\frac{\varphi}{2}=m\cos\frac{\varphi}{2},$$

а также

$$AD=AB\sin\frac{\varphi}{2}=m\sin\frac{\varphi}{2}.$$

Так как $$BD$$ — медиана, то

$$AC=2AD=2m\sin\frac{\varphi}{2}.$$

Тогда площадь основания:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 2m\sin\frac{\varphi}{2}\cdot m\cos\frac{\varphi}{2}=m^2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}.$$

По условию $$BB_1=BD$$, значит

$$BB_1=m\cos\frac{\varphi}{2}.$$

Следовательно, объём призмы:

$$V=S_{ABC}\cdot BB_1=m^2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}\cdot m\cos\frac{\varphi}{2}.$$

Итак,

$$V=m^3\sin\frac{\varphi}{2}\cos^2\frac{\varphi}{2}.$$