Упр.453 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите объём прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$, если $$AB=BC=m$$, $$\angle ABC=\varphi$$ и $$BB_1=BD$$, где $$BD$$ — высота треугольника $$ABC$$.
Так как призма прямая, то её объём равен произведению площади основания на высоту:
$$V=S_{ABC}\cdot BB_1.$$
Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, так как $$AB=BC=m$$. Высота $$BD$$, проведённая к основанию $$AC$$, в равнобедренном треугольнике является также медианой, поэтому $$D$$ — середина $$AC$$.
В прямоугольном треугольнике $$ABD$$ имеем:
$$AD=AB\sin\frac{\varphi}{2}=m\sin\frac{\varphi}{2},$$
$$BD=AB\cos\frac{\varphi}{2}=m\cos\frac{\varphi}{2}.$$
Тогда
$$AC=2AD=2m\sin\frac{\varphi}{2}.$$
Площадь основания:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BD=\frac12\cdot 2m\sin\frac{\varphi}{2}\cdot m\cos\frac{\varphi}{2}=m^2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}.$$
По условию $$BB_1=BD$$, значит
$$BB_1=m\cos\frac{\varphi}{2}.$$
Следовательно,
$$V=S_{ABC}\cdot BB_1=m^2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}\cdot m\cos\frac{\varphi}{2}.$$
Итак,
$$V=m^3\sin\frac{\varphi}{2}\cos^2\frac{\varphi}{2}.$$
Ответ
$$V=m^3\sin\frac{\varphi}{2}\cos^2\frac{\varphi}{2}.$$
