Упр.452 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите объём прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$, если:
а) $$\angle BAC=120^\circ$$, $$AB=5\ \text{см}$$, $$AC=3\ \text{см}$$ и наибольшая из площадей боковых граней равна $$35\ \text{см}^2$$;
б) $$\angle AB_1C=60^\circ$$, $$AB_1=3$$, $$CB_1=2$$ и двугранный угол с ребром $$BB_1$$ прямой.

Подробный ответ

а) В прямой призме боковые грани — прямоугольники, поэтому их площади равны произведению стороны основания на высоту призмы. Наибольшая боковая грань лежит против наибольшей стороны основания. Так как в треугольнике $$ABC$$ большему углу противолежит большая сторона, то наибольшей стороной является $$BC$$, а значит, наибольшая боковая грань — $$BCC_1B_1$$.

Найдём $$BC$$ по теореме косинусов в треугольнике $$ABC$$:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle BAC$$
$$BC^2=5^2+3^2-2\cdot 5\cdot 3\cdot \cos 120^\circ =25+9-30\cdot \left(-\frac12\right)=49,$$
значит, $$BC=7$$.

Пусть $$h$$ — высота призмы. Тогда

$$S_{BCC_1B_1}=BC\cdot h=35,$$
откуда

$$h=\frac{35}{7}=5\text{ см}.$$

Площадь основания:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot \sin \angle BAC =\frac12\cdot 5\cdot 3\cdot \sin 120^\circ =\frac12\cdot 15\cdot \frac{\sqrt3}{2} =\frac{15\sqrt3}{4}.$$

Тогда объём призмы равен

$$V=S_{ABC}\cdot h=\frac{15\sqrt3}{4}\cdot 5=\frac{75\sqrt3}{4}\text{ см}^3.$$

б) Так как двугранный угол с ребром $$BB_1$$ прямой, то $$BB_1\perp AB$$ и $$BB_1\perp BC$$, следовательно, $$BB_1\perp (ABC)$$. Значит, $$\angle ABC=90^\circ$$.

Рассмотрим треугольник $$AB_1C$$ и применим теорему косинусов:

$$AC^2=AB_1^2+CB_1^2-2\cdot AB_1\cdot CB_1\cdot \cos \angle AB_1C$$
$$AC^2=3^2+2^2-2\cdot 3\cdot 2\cdot \cos 60^\circ =9+4-12\cdot \frac12=7,$$
значит, $$AC=\sqrt7$$.

Обозначим $$AB=x$$, $$BC=y$$, $$BB_1=z$$. Тогда из прямоугольных треугольников получаем:

$$x^2+y^2=AC^2=7,$$
$$x^2+z^2=AB_1^2=9,$$
$$y^2+z^2=CB_1^2=4.$$

Вычтем третье равенство из второго:

$$x^2-y^2=5.$$

Решая систему
$$\begin{cases} x^2+y^2=7,\\ x^2-y^2=5, \end{cases}$$
получаем

$$2x^2=12,\quad x^2=6,\quad x=\sqrt6.$$

Тогда

$$y^2=7-6=1,\quad y=1,$$
$$z^2=4-1=3,\quad z=\sqrt3.$$

Площадь основания:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC=\frac12\cdot \sqrt6\cdot 1=\frac{\sqrt6}{2}.$$

Высота призмы равна $$BB_1=\sqrt3$$, поэтому

$$V=S_{ABC}\cdot BB_1=\frac{\sqrt6}{2}\cdot \sqrt3=\frac{3\sqrt2}{2}\text{ см}^3.$$