Упр.450 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, если:
   а) $$AC_1=1\ \text{м}$$, $$\angle C_1AC=45^\circ$$, $$\angle C_1AB=60^\circ$$;
   б) $$AC_1=24\ \text{см}$$, $$\angle C_1AA_1=45^\circ$$, диагональ $$AC_1$$ составляет угол в $$30^\circ$$ с плоскостью боковой грани.

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда через $$AB=a,$$ $$BC=b,$$ $$AA_1=h.$$ Тогда объём равен

$$V=abh.$$

а)

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1.$$ По условию $$AC_1=1\text{ м},$$ $$\angle C_1AC=45^\circ,$$ значит

$$h=CC_1=AC_1\sin 45^\circ=1\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

В треугольнике $$ABC$$ угол между $$AC_1$$ и $$AB$$ равен $$60^\circ,$$ поэтому

$$b=AC_1\cos 60^\circ=1\cdot \frac12=\frac12.$$

Теперь по теореме Пифагора для диагонали основания $$AC$$:

$$AC^2=a^2+b^2,$$

а в прямоугольном треугольнике $$ACC_1$$

$$AC^2+h^2=AC_1^2=1.$$

Следовательно,

$$a^2=1-b^2-h^2=1-\frac14-\frac12=\frac14,$$

откуда

$$a=\frac12.$$

Тогда

$$V=abh=\frac12\cdot \frac12\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{8}\text{ м}^3.$$

б)

Здесь $$AC_1=24\text{ см},$$ $$\angle C_1AA_1=45^\circ,$$ а диагональ $$AC_1$$ составляет угол $$30^\circ$$ с плоскостью боковой грани. Тогда

$$h=AA_1=AC_1\cos 45^\circ=24\cdot \frac{\sqrt2}{2}=12\sqrt2\text{ см}.$$

Проекция диагонали $$AC_1$$ на плоскость боковой грани равна

$$AD=AC_1\cos 30^\circ=24\cdot \frac{\sqrt3}{2}=12\sqrt3\text{ см},$$

где $$D$$ — проекция точки $$C_1$$ на эту грань. В прямоугольном треугольнике $$A D C_1$$ имеем

$$CD^2=AC_1^2-AD^2=24^2-(12\sqrt3)^2=576-432=144,$$

значит

$$CD=12\text{ см}.$$

Так как $$CD=AB=a,$$ то $$a=12\text{ см}.$$ Кроме того, из прямоугольного треугольника $$AA_1C_1$$ получаем

$$b=AA_1=12\text{ см}.$$

Тогда объём параллелепипеда:

$$V=abh=12\cdot 12\cdot 12\sqrt2=1728\sqrt2\text{ см}^3.$$

Ответ: а) $$\frac{\sqrt2}{8}\text{ м}^3$$; б) $$1728\sqrt2\text{ см}^3$$.