Упр.45 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямая а параллельна стороне BC параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что а и CD — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен: а) 50°; б) 121°.

Пусть плоскость параллелограмма $$ABCD$$ обозначена через $$\alpha$$. Тогда $$BC \subset \alpha$$, а прямая $$a$$ параллельна прямой $$BC$$ и не лежит в плоскости $$\alpha$$.

Если бы прямые $$a$$ и $$CD$$ лежали в одной плоскости, то эта плоскость содержала бы прямую $$a$$, а значит, и прямую, параллельную ей, то есть $$BC$$. Но тогда вместе с точкой $$C$$ прямая $$CD$$ пересекала бы плоскость $$\alpha$$ в точке $$C$$, не лежащей на $$a$$. Следовательно, прямые $$a$$ и $$CD$$ не пересекаются и не лежат в одной плоскости, то есть они скрещивающиеся.

Угол между прямыми $$a$$ и $$CD$$ равен углу между прямой $$BC$$ и прямой $$CD$$, то есть углу $$\angle BCD$$ параллелограмма.

В параллелограмме соседние углы в сумме дают $$180^\circ$$, поэтому:

$$ \angle BCD = 180^\circ — \angle B $$

а) Если один из углов параллелограмма равен $$50^\circ$$, то острый угол между соседними сторонами равен $$50^\circ$$, значит, угол между $$a$$ и $$CD$$ равен $$50^\circ$$.

б) Если один из углов параллелограмма равен $$121^\circ$$, то смежный с ним угол равен

$$ 180^\circ — 121^\circ = 59^\circ $$

Следовательно, угол между $$a$$ и $$CD$$ равен $$59^\circ$$.

Ответ

$$a$$ и $$CD$$ — скрещивающиеся прямые; $$50^\circ$$, $$59^\circ$$.