Упр.449 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ диагональ $$B_1D$$ составляет с плоскостью основания угол в $$45^\circ$$, а двугранный угол $$A_1B_1BD$$ равен $$60^\circ$$. Найдите объём параллелепипеда, если диагональ основания равна $$12\text{ см}$$.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен

$$V=abc,$$

где $$a$$ и $$b$$ — стороны основания, $$h$$ — высота.

Пусть $$BD=12$$ см — диагональ основания. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABD$$ угол $$\angle ABD$$ равен линейному углу двугранного угла $$A_1B_1BD$$, значит

$$\angle ABD=60^\circ.$$

Из прямоугольного треугольника $$ABD$$ получаем:

$$AB=BD\cos 60^\circ=12\cdot \frac12=6,$$

$$AD=BD\sin 60^\circ=12\cdot \frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3.$$

Высоту найдём из треугольника, в котором диагональ $$B_1D$$ образует с плоскостью основания угол $$45^\circ$$:

$$\tan 45^\circ=\frac{h}{BD},$$

откуда

$$h=BD\cdot \tan 45^\circ=12\cdot 1=12.$$

Тогда

$$V=AB\cdot AD\cdot h=6\cdot 6\sqrt3\cdot 12=432\sqrt3\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$432\sqrt3\ \text{см}^3$$.