Упр.448 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $$a$$ и $$b$$. Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания, равную $$b$$, угол в $$30^\circ$$. Найдите объем параллелепипеда.

Обозначим высоту параллелепипеда через $$h$$. Тогда его объём равен

$$V=abh.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда и её проекцией на боковую грань, содержащую сторону основания $$b$$. По условию угол между диагональю и этой гранью равен $$30^\circ$$, значит

$$AB_1=AC_1\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}AC_1.$$

С другой стороны, в прямоугольном треугольнике с катетами $$a$$ и $$h$$ имеем

$$AB_1^2=a^2+h^2.$$

А для пространственной диагонали:

$$AC_1^2=a^2+b^2+h^2.$$

Так как $$AB_1=AC_1\cos 30^\circ$$, то

$$a^2+h^2=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+h^2\right).$$

Умножим на $$4$$:

$$4a^2+4h^2=3a^2+3b^2+3h^2,$$

откуда

$$a^2+h^2=3b^2.$$

Следовательно,

$$h^2=3b^2-a^2,$$

и потому

$$h=\sqrt{3b^2-a^2}.$$

Тогда объём параллелепипеда:

$$V=ab\sqrt{3b^2-a^2}.$$

Ответ: $$V=ab\sqrt{3b^2-a^2}$$.