Упр.448 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны а и b. Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания, равную b, угол в 30°. Найдите объем параллелепипеда.
Обозначим высоту параллелепипеда через $$h$$. Тогда объём равен
$$V=abh.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда, её проекцией на боковую грань и высотой. По условию угол между диагональю и боковой гранью, содержащей сторону основания $$b$$, равен $$30^\circ$$.
В этой грани получаем прямоугольный треугольник, где
$$\cos 30^\circ=\frac{b}{AC_1},$$
откуда
$$AC_1=\frac{b}{\cos 30^\circ}=\frac{2b}{\sqrt{3}}.$$
Теперь по теореме Пифагора для диагонали параллелепипеда:
$$AC_1^2=a^2+b^2+h^2.$$
Подставим найденное значение $$AC_1$$:
$$\left(\frac{2b}{\sqrt{3}}\right)^2=a^2+b^2+h^2,$$
$$\frac{4b^2}{3}=a^2+b^2+h^2,$$
$$h^2=\frac{4b^2}{3}-a^2-b^2=\frac{b^2}{3}-a^2.$$
Но высота должна выражаться через данные основания, поэтому удобнее рассмотреть проекцию диагонали на основание. Тогда для диагонали основания имеем
$$AB_1^2=a^2+b^2,$$
а из прямоугольного треугольника с углом $$30^\circ$$:
$$\cos 30^\circ=\frac{AB_1}{AC_1}, \qquad AB_1=AC_1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Следовательно,
$$AB_1^2=\frac{3}{4}AC_1^2.$$
С другой стороны,
$$AC_1^2=a^2+h^2.$$
Тогда
$$a^2+b^2=\frac{3}{4}(a^2+h^2),$$
$$4a^2+4b^2=3a^2+3h^2,$$
$$a^2+4b^2=3h^2,$$
$$h^2=\frac{a^2+4b^2}{3}.$$
Подставляя это в формулу объёма, получаем
$$V=ab\sqrt{\frac{a^2+4b^2}{3}}.$$
Ответ
$$V=ab\sqrt{\frac{a^2+4b^2}{3}}.$$