Упр.447 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет угол $$\alpha$$ с плоскостью боковой грани и угол $$\beta$$ с плоскостью основания. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна $$h$$.

Подробный ответ

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда через $$AB=a,$$ $$AD=b,$$ $$AA_1=h.$$ Тогда объём равен

$$V=abh.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$. Диагональ $$AC_1$$ образует с плоскостью основания угол $$\beta$$, значит

$$\sin\beta=\frac{CC_1}{AC_1}=\frac{h}{AC_1},$$

откуда

$$AC_1=\frac{h}{\sin\beta}.$$

Проекция диагонали $$AC_1$$ на плоскость основания — это диагональ основания $$AC$$. Поэтому в прямоугольном треугольнике $$ACC_1$$ имеем

$$AC=AC_1\cos\beta=\frac{h\cos\beta}{\sin\beta}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$ в основании. По теореме Пифагора

$$a^2+b^2=AC^2=\frac{h^2\cos^2\beta}{\sin^2\beta}.$$

Из условия угол $$\alpha$$ — это угол между диагональю $$AC_1$$ и плоскостью боковой грани. В боковой грани проекцией диагонали $$AC_1$$ является отрезок, длина которого равна $$b$$, поэтому

$$\sin\alpha=\frac{b}{AC_1}.$$

Следовательно,

$$b=AC_1\sin\alpha=\frac{h\sin\alpha}{\sin\beta}.$$

Тогда

$$a^2=\frac{h^2\cos^2\beta}{\sin^2\beta}-\frac{h^2\sin^2\alpha}{\sin^2\beta} =\frac{h^2\bigl(\cos^2\beta-\sin^2\alpha\bigr)}{\sin^2\beta},$$

и значит

$$a=\frac{h}{\sin\beta}\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha}.$$

Теперь найдём объём:

$$V=abh =\frac{h}{\sin\beta}\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha}\cdot \frac{h\sin\alpha}{\sin\beta}\cdot h.$$

Итак,

$$V=\frac{h^3\sin\alpha}{\sin^2\beta}\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha}.$$