Упр.446 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани и угол в 45° с боковым ребром. Найдите объем параллелепипеда.

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда через $$a$$, $$b$$ и $$h$$. Тогда его объём равен

$$V=abh.$$

Диагональ параллелепипеда $$AC_1=18$$ см. По условию она образует угол $$30^\circ$$ с плоскостью боковой грани и угол $$45^\circ$$ с боковым ребром.

Рассмотрим проекцию диагонали $$AC_1$$ на плоскость основания. Тогда в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$AC_1$$ имеем:

$$h=AC_1\cos 30^\circ=18\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}.$$

Проекция диагонали на основание равна

$$AC=AC_1\sin 30^\circ=18\cdot \frac12=9.$$

Теперь рассмотрим угол между диагональю и боковым ребром:

$$b=AC_1\cos 45^\circ=18\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}.$$

В основании прямоугольника диагональ $$AC$$ выражается через стороны $$a$$ и $$b$$:

$$AC^2=a^2+b^2.$$

Подставим найденные значения:

$$9^2=a^2+(9\sqrt{2})^2,$$

$$81=a^2+162,$$

$$a^2=81,\quad a=9.$$

Тогда объём параллелепипеда:

$$V=abh=9\cdot 9\sqrt{2}\cdot 9\sqrt{3}=729\sqrt{6}.$$

Ответ

$$729\sqrt{6}\ \text{см}^3$$