Упр.446 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $$18\ \text{см}$$ и составляет угол в $$30^\circ$$ с плоскостью боковой грани и угол в $$45^\circ$$ с боковым ребром. Найдите объем параллелепипеда.

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда через $$a,\; b,\; h.$$ Тогда его объём равен

$$V=abh.$$

Диагональ параллелепипеда равна $$18$$ см, значит для неё по теореме Пифагора

$$a^2+b^2+h^2=18^2=324.$$

Угол между диагональю и боковым ребром равен $$45^\circ$$, поэтому

$$h=18\cos 45^\circ=18\cdot \frac{\sqrt2}{2}=9\sqrt2.$$

Угол между диагональю и плоскостью боковой грани равен $$30^\circ$$. Тогда проекция диагонали на эту плоскость равна

$$b=18\sin 30^\circ=18\cdot \frac12=9.$$

Теперь найдём второе ребро основания:

$$a^2=324-b^2-h^2=324-9^2-(9\sqrt2)^2=324-81-162=81,$$

откуда

$$a=9.$$

Тогда объём параллелепипеда:

$$V=abh=9\cdot 9\cdot 9\sqrt2=729\sqrt2\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$729\sqrt2\ \text{см}^3$$