Упр.445 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), если \(AC_1=13\) см, \(BD=12\) см и \(BC_1=11\) см.

Обозначим $$AB=a,$$ $$BC=b,$$ $$AA_1=h.$$ Тогда для прямоугольного параллелепипеда по теореме Пифагора получаем:

$$BD^2=a^2+b^2=12^2=144,$$
$$BC_1^2=b^2+h^2=11^2=121,$$
$$AC_1^2=a^2+b^2+h^2=13^2=169.$$

Вычтем из третьего равенства первое:

$$h^2=169-144=25,$$

значит, $$h=5.$$

Теперь из второго равенства:

$$b^2=121-25=96,$$

откуда $$b=\sqrt{96}=4\sqrt{6}.$$

Из первого равенства:

$$a^2=144-96=48,$$

следовательно, $$a=\sqrt{48}=4\sqrt{3}.$$

Тогда объём параллелепипеда равен

$$V=abh=4\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{6}\cdot 5=80\sqrt{18}=240\sqrt{2}\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$240\sqrt{2}\ \text{см}^3.$$