Упр.442 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите объём куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, если:

а) $$AC=12\ \text{см}$$;

б) $$AC_1=3\sqrt{2}\ \text{м}$$;

в) $$DE=1\ \text{см}$$, где $$E$$ — середина ребра $$AB$$.

Обозначим ребро куба через $$a$$. Тогда объём куба равен $$V=a^3$$.

а) Диагональ грани куба равна $$AC=a\sqrt{2}$$, значит

$$a=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}\text{ см}.$$

Тогда

$$V=a^3=(6\sqrt{2})^3=216\cdot 2\sqrt{2}=432\sqrt{2}\text{ см}^3.$$

б) Пространственная диагональ куба равна $$AC_1=a\sqrt{3}$$, поэтому

$$a=\frac{AC_1}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}\text{ м}.$$

Следовательно,

$$V=a^3=(\sqrt{6})^3=6\sqrt{6}\text{ м}^3.$$

в) Точка $$E$$ — середина ребра $$AB$$, значит $$AE=\frac{a}{2}$$. В прямоугольном треугольнике $$AED$$:

$$DE^2=AE^2+AD^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+a^2=\frac{5}{4}a^2.$$

Так как $$DE=1\text{ см}$$, получаем

$$1^2=\frac{5}{4}a^2,\qquad a^2=\frac{4}{5},\qquad a=\frac{2}{\sqrt{5}}\text{ см}.$$

Тогда

$$V=a^3=\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3=\frac{8}{5\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{25}\text{ см}^3.$$

Ответ: $$432\sqrt{2}\text{ см}^3,\ 6\sqrt{6}\text{ м}^3,\ \frac{8\sqrt{5}}{25}\text{ см}^3.$$