Упр.440 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Тело $$R$$ состоит из тел $$P$$ и $$Q$$, имеющих соответственно объемы $$V_1$$ и $$V_2$$. Выразите объем $$V$$ тела $$R$$ через $$V_1$$ и $$V_2$$, если:

1. тела $$P$$ и $$Q$$ не имеют общих внутренних точек;
2. тела $$P$$ и $$Q$$ имеют общую часть, объем которой равен $$\vt$$.

Обозначим объёмы тел $$P$$ и $$Q$$ через $$V_1$$ и $$V_2$$ соответственно. Тогда объём тела $$R$$ равен сумме объёмов тел $$P$$ и $$Q$$ без учёта их общей части:

$$V_R=V_P+V_Q-V_{P\cap Q}.$$

а) Если тела $$P$$ и $$Q$$ не имеют общих внутренних точек, то их общая часть пуста, значит

$$V_{P\cap Q}=0.$$

Тогда

$$V_R=V_1+V_2.$$

б) Если объём общей части равен $$\frac{1}{3}V_1$$, то

$$V_{P\cap Q}=\frac{1}{3}V_1.$$

Следовательно,

$$V_R=V_1+V_2-\frac{1}{3}V_1=\frac{2}{3}V_1+V_2.$$

Ответ: а) $$V_R=V_1+V_2$$; б) $$V_R=\frac{2}{3}V_1+V_2$$.