Упр.439 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Конус с углом $$\varphi$$ при вершине осевого сечения и радиусом основания $$r$$ вписан в сферу радиуса $$R$$ (то есть вершина конуса лежит на сфере, а основание конуса является сечением сферы, рис. 173, б). Найдите: а) $$r$$, если известны $$R$$ и $$\varphi$$; б) $$R$$, если известны $$r$$ и $$\varphi$$; в) $$\varphi$$, если $$R=2r$$.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение конуса. В нём $$AB=2r,$$ $$SA=SB,$$ а угол при вершине $$\angle ASB=\varphi.$$ Тогда центральный угол, стягивающий ту же хорду $$AB,$$ равен

$$\angle AOB=2\varphi.$$

Так как точки $$A$$ и $$B$$ лежат на сфере радиуса $$R$$ с центром в точке $$O,$$ то в треугольнике $$AOB$$ по теореме косинусов

$$AB^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cos\angle AOB.$$

Подставим $$OA=OB=R$$ и $$\angle AOB=2\varphi$$:

$$(2r)^2=R^2+R^2-2R^2\cos 2\varphi,$$

$$4r^2=2R^2(1-\cos 2\varphi).$$

Используем формулу $$1-\cos 2\varphi=2\sin^2\varphi$$:

$$4r^2=4R^2\sin^2\varphi.$$

Отсюда

$$r=R\sin\varphi.$$

Следовательно:

а) $$r=R\sin\varphi$$;