Упр.438 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Цилиндр вписан в сферу (т. е. основания цилиндра являются сечениями сферы, рис. 173, а). Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади сферы, если высота цилиндра равна диаметру основания.
Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Так как высота цилиндра равна диаметру основания, то осевое сечение — квадрат со стороной $$a$$, где $$a$$ — диаметр основания цилиндра.
Пусть радиус сферы равен $$R$$. Тогда диагональ квадрата равна диаметру сферы:
$$BD=2R.$$
С другой стороны, для квадрата со стороной $$a$$
$$BD=a\sqrt{2}.$$
Следовательно,
$$2R=a\sqrt{2}, \qquad R=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$
Площадь сферы:
$$S_{\text{сф}}=4\pi R^2=4\pi\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2=2\pi a^2.$$
Радиус основания цилиндра равен
$$r=\frac{a}{2}.$$
Тогда полная поверхность цилиндра:
$$S_{\text{цил}}=2\pi r h+2\pi r^2.$$
Так как $$h=a$$, получаем
$$S_{\text{цил}}=2\pi\cdot \frac{a}{2}\cdot a+2\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2=\pi a^2+\frac{\pi a^2}{2}=\frac{3\pi a^2}{2}.$$
Искомое отношение:
$$\frac{S_{\text{цил}}}{S_{\text{сф}}}=\frac{\frac{3\pi a^2}{2}}{2\pi a^2}=\frac{3}{4}.$$
Ответ: $$\frac{3}{4}$$.
