Упр.437 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В конус вписана сфера радиуса $$r$$. Найдите площадь полной поверхности конуса, если угол между образующей и основанием конуса равен $$a$$.

Пусть $$l$$ — образующая конуса, $$R$$ — радиус основания, $$h$$ — высота конуса. Тогда в осевом сечении получаем прямоугольный треугольник, в котором угол между образующей и основанием равен $$\alpha$$, значит

$$\cos\alpha=\frac{R}{l}, \qquad \sin\alpha=\frac{h}{l}.$$

Сфера радиуса $$r$$ вписана в конус, поэтому в осевом сечении она вписана в равнобедренный треугольник. Его площадь можно выразить через радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{S_{\triangle}}{p},$$

где $$p$$ — полупериметр треугольника. Для осевого сечения конуса

$$S_{\triangle}=Rh,\qquad p=l+R.$$

Тогда

$$r=\frac{Rh}{l+R}.$$

Подставим $$R=l\cos\alpha$$ и $$h=l\sin\alpha$$:

$$r=\frac{l\cos\alpha\cdot l\sin\alpha}{l+l\cos\alpha} =\frac{l\sin\alpha\cos\alpha}{1+\cos\alpha}.$$

Отсюда

$$l=\frac{r(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha}.$$

Теперь найдём полную поверхность конуса:

$$S_{\text{полн}}=\pi Rl+\pi R^2=\pi R(l+R).$$

Так как $$R=l\cos\alpha$$, то

$$S_{\text{полн}}=\pi l^2\cos\alpha(1+\cos\alpha).$$

Подставим найденное $$l$$:

$$S_{\text{полн}} =\pi \left(\frac{r(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha}\right)^2 \cos\alpha(1+\cos\alpha) =\pi r^2\frac{(1+\cos\alpha)^3}{\sin^2\alpha\cos\alpha}.$$

Используем формулу $$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)$$:

$$S_{\text{полн}} =\pi r^2\frac{(1+\cos\alpha)^2}{\cos\alpha(1-\cos\alpha)}.$$

Так как

$$\frac{(1+\cos\alpha)^2}{1-\cos\alpha} =\frac{(1+\cos\alpha)^2(1+\cos\alpha)}{1-\cos^2\alpha} =\frac{(1+\cos\alpha)^3}{\sin^2\alpha},$$

то удобнее записать ответ в виде

$$S_{\text{полн}}=\frac{\pi r^2(1+\cos\alpha)^2}{\cos\alpha\,\sin^2\alpha}.$$

Ответ: $$S_{\text{полн}}=\dfrac{\pi r^2(1+\cos\alpha)^2}{\cos\alpha\,\sin^2\alpha}.$$