Упр.437 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B конус вписана сфера радиуса r. Найдите площадь полной поверхности конуса, если угол между образующей и основанием конуса равен a.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение конуса. Пусть $$S$$ — вершина конуса, $$O$$ — центр вписанной сферы, $$M$$ — середина диаметра основания, $$B$$ — точка касания сферы с образующей, $$r$$ — радиус сферы, $$l$$ — образующая конуса, $$a$$ — радиус основания конуса.

Так как сфера касается основания конуса, то $$OM=r$$. Кроме того, $$OB$$ — биссектриса угла $$\angle HBS$$, поэтому в прямоугольном треугольнике $$OBM$$ имеем

$$\frac{r}{BM}=\tan\frac{\alpha}{2}.$$

Но $$BM=a$$, значит

$$a=\frac{r}{\tan\frac{\alpha}{2}}.$$

Площадь основания конуса:

$$S_{\text{осн}}=\pi a^2=\frac{\pi r^2}{\tan^2\frac{\alpha}{2}}.$$

Теперь найдём образующую $$l$$. В треугольнике $$SMB$$ угол между образующей и основанием равен $$\alpha$$, поэтому

$$\cos\alpha=\frac{a}{l}, \qquad l=\frac{a}{\cos\alpha}.$$

Подставляя найденное $$a$$, получаем

$$l=\frac{r}{\tan\frac{\alpha}{2}\cos\alpha}.$$

Площадь боковой поверхности конуса:

$$S_{\text{бок}}=\pi al=\pi\cdot \frac{r}{\tan\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{r}{\tan\frac{\alpha}{2}\cos\alpha} =\frac{\pi r^2}{\tan^2\frac{\alpha}{2}\cos\alpha}.$$

Тогда полная поверхность конуса равна

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=\frac{\pi r^2}{\tan^2\frac{\alpha}{2}}+\frac{\pi r^2}{\tan^2\frac{\alpha}{2}\cos\alpha}.$$

Вынесем общий множитель:

$$S_{\text{полн}}=\frac{\pi r^2}{\tan^2\frac{\alpha}{2}}\left(1+\frac{1}{\cos\alpha}\right).$$

Используем формулу

$$1+\cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}, \qquad \cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1,$$

и преобразуем выражение к виду

$$S_{\text{полн}}=\frac{2\pi r^2}{\tan^2\frac{\alpha}{2}\cos\alpha}\cos^2\frac{\alpha}{2}.$$

Так как $$\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}$$, то окончательно

$$S_{\text{полн}}=\frac{2\pi r^2}{1-\cos\alpha}.$$