Упр.436 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В конус с углом $$\varphi$$ при вершине осевого сечения и радиусом основания $$r$$ вписана сфера радиуса $$R$$ (то есть сфера касается основания конуса и каждой его образующей, рис. 172, б). Найдите: а) $$r$$, если известны $$R$$ и $$\varphi$$; б) $$R$$, если известны $$r$$ и $$\varphi$$; в) $$\varphi$$, если $$R=1\ \text{см}$$, $$r=\sqrt{3}\ \text{см}$$.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник с углом при вершине $$\varphi$$, основанием $$2r$$ и высотой $$SH$$. Центр вписанной сферы лежит на высоте конуса, поэтому в осевом сечении получаем центр вписанной окружности треугольника.
Пусть $$O$$ — центр сферы, $$R$$ — её радиус. Тогда $$OH=R$$, а точка касания сферы с боковой поверхностью соответствует вписанной окружности в осевом сечении.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$SOB$$, где $$B$$ — конец основания осевого сечения. Так как $$OB$$ — биссектриса угла при вершине треугольника, то
$$\angle HBO=45^\circ-\frac{\varphi}{4}.$$
В прямоугольном треугольнике $$HOB$$ имеем
$$\tan\angle HBO=\frac{OH}{HB}=\frac{R}{r}.$$
Отсюда
$$\frac{R}{r}=\tan\left(45^\circ-\frac{\varphi}{4}\right),$$
то есть
$$r=\frac{R}{\tan\left(45^\circ-\frac{\varphi}{4}\right)}.$$
Используя формулу
$$\tan\left(45^\circ-\alpha\right)=\frac{1-\tan\alpha}{1+\tan\alpha},$$
получаем также эквивалентную запись
$$r=R\cdot \frac{1+\tan\frac{\varphi}{4}}{1-\tan\frac{\varphi}{4}}.$$
Теперь выразим $$R$$:
$$R=r\tan\left(45^\circ-\frac{\varphi}{4}\right).$$
Для пункта в) дано $$R=1\text{ см}$$ и $$r=\sqrt{3}\text{ см}$$. Тогда
$$\frac{R}{r}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan\left(45^\circ-\frac{\varphi}{4}\right).$$
Так как $$\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}},$$ то
$$45^\circ-\frac{\varphi}{4}=30^\circ,$$
откуда
$$\frac{\varphi}{4}=15^\circ,\qquad \varphi=60^\circ.$$
Ответ
а) $$r=\dfrac{R}{\tan\left(45^\circ-\frac{\varphi}{4}\right)}$$; б) $$R=r\tan\left(45^\circ-\frac{\varphi}{4}\right)$$; в) $$\varphi=60^\circ$$.
