Упр.435 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Сфера вписана в цилиндр (т. е. она касается оснований цилиндра и каждой его образующей, рис. 172, а). Найдите отношение площади сферы к площади полной поверхности цилиндра.

Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Так как сфера вписана в цилиндр, то в этом сечении получаем окружность, вписанную в прямоугольник.

Пусть $$R$$ — радиус сферы. Тогда радиус основания цилиндра тоже равен $$R$$, а высота цилиндра равна $$2R$$.

Площадь сферы:

$$S_{\text{сф}}=4\pi R^2.$$

Полная поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности:

$$S_{\text{цил}}=2\pi R^2+2\pi R\cdot 2R=2\pi R^2+4\pi R^2=6\pi R^2.$$

Тогда искомое отношение равно

$$\frac{S_{\text{сф}}}{S_{\text{цил}}}=\frac{4\pi R^2}{6\pi R^2}=\frac{2}{3}.$$

Ответ: $$\frac{2}{3}$$.