Упр.434 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной четырехугольной пирамиде радиусы вписанной и описанной сфер равны $$2\ \text{см}$$ и $$5\ \text{см}$$. Найдите сторону основания и высоту пирамиды.
Обозначим через $$h$$ высоту пирамиды, через $$a$$ — сторону основания. Пусть $$R=5$$ см — радиус описанной сферы, $$r=2$$ см — радиус вписанной сферы.
Рассмотрим осевое сечение правильной четырёхугольной пирамиды. В нём получаем равнобедренный треугольник с основанием $$a$$, высотой $$h$$ и боковой стороной $$l$$. Центр вписанной сферы лежит на оси пирамиды, поэтому для этого треугольника радиус вписанной окружности равен $$r=2$$.
Для правильной пирамиды выполняется:
$$a^2=2h(10-h)$$
Действительно, из условия касания вписанной сферы и описанной сферы для осевого сечения получаем систему, из которой после преобразований выходит уравнение
$$2h^2-28h+96=0.$$
Решим его:
$$h^2-14h+48=0,$$
$$(h-6)(h-8)=0.$$
Значит, возможны два значения высоты:
$$h=6 \quad \text{или} \quad h=8.$$
Найдём соответствующие стороны основания:
$$a^2=2h(10-h).$$
Если $$h=8$$, то
$$a^2=2\cdot 8\cdot (10-8)=32,\qquad a=4\sqrt{2}.$$
Если $$h=6$$, то
$$a^2=2\cdot 6\cdot (10-6)=48,\qquad a=4\sqrt{3}.$$
Следовательно, возможны два ответа:
$$a=4\sqrt{2}\text{ см},\ h=8\text{ см}$$
или
$$a=4\sqrt{3}\text{ см},\ h=6\text{ см}.$$
Ответ
$$a=4\sqrt{2}\text{ см},\ h=8\text{ см}$$ или $$a=4\sqrt{3}\text{ см},\ h=6\text{ см}$$.
