Упр.433 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковое ребро равно 2a. Найдите радиусы вписанной и описанной сфер.

Подробный ответ

Обозначим через $$SO=h$$ высоту пирамиды, через $$O$$ — центр основания. Тогда основание — равносторонний треугольник со стороной $$a$$, а значит его радиус описанной окружности

$$OA=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Так как боковое ребро равно $$2a$$, то в прямоугольном треугольнике $$SOA$$ имеем

$$SA^2=SO^2+OA^2,$$

откуда

$$4a^2=h^2+\frac{a^2}{3},$$

$$h^2=\frac{11a^2}{3}, \qquad h=a\sqrt{\frac{11}{3}}.$$

Найдём радиус описанной сферы. Пусть её центр лежит на высоте пирамиды и обозначен через $$D$$. Тогда $$SD=R$$, а точка $$D$$ лежит на прямой $$SO$$. Из равенства расстояний от центра сферы до вершин основания получаем, что $$D$$ лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через $$O$$. Для вершины $$A$$:

$$DA^2=DO^2+OA^2.$$

Так как $$DA=DS$$, то

$$DO^2+OA^2=(h-DO)^2.$$

Подставляя $$OA^2=\dfrac{a^2}{3}$$ и $$h^2=\dfrac{11a^2}{3}$$, получаем

$$DO=\frac{h^2+OA^2}{2h}=\frac{\frac{11a^2}{3}+\frac{a^2}{3}}{2h}=\frac{2a^2}{h}.$$

Тогда

$$R=SD=h+DO=h+\frac{2a^2}{h}.$$

Подставим $$h=a\sqrt{\frac{11}{3}}$$:

$$R=a\sqrt{\frac{11}{3}}+\frac{2a^2}{a\sqrt{\frac{11}{3}}} =a\left(\sqrt{\frac{11}{3}}+\frac{2}{\sqrt{11/3}}\right) =\frac{2a\sqrt{33}}{11}.$$

Теперь найдём радиус вписанной сферы. Пусть её центр обозначен через $$Q$$, а радиус равен $$r$$. Тогда в сечении плоскостью, проходящей через высоту пирамиды и середину стороны основания, получаем прямоугольный треугольник, в котором $$Q$$ лежит на биссектрисе угла при вершине. Используем формулу для радиуса вписанной сферы правильной пирамиды:

$$r=\frac{3V}{S_{\text{полн}}},$$

где $$V$$ — объём пирамиды, $$S_{\text{полн}}$$ — её полная поверхность.

Площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Площадь боковой грани: это равнобедренный треугольник со сторонами $$2a,2a,a$$. Его высота к основанию равна

$$\sqrt{(2a)^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{15}}{2},$$

поэтому

$$S_{\text{бок,1}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{15}}{2}=\frac{a^2\sqrt{15}}{4}.$$

Тогда полная поверхность

$$S_{\text{полн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot \frac{a^2\sqrt{15}}{4} =\frac{a^2}{4}\left(\sqrt{3}+3\sqrt{15}\right).$$

Объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h =\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{\frac{11}{3}} =\frac{a^3\sqrt{11}}{12}.$$

Следовательно,

$$r=\frac{3V}{S_{\text{полн}}} =\frac{3\cdot \frac{a^3\sqrt{11}}{12}}{\frac{a^2}{4}\left(\sqrt{3}+3\sqrt{15}\right)} =\frac{a\sqrt{11}}{\sqrt{3}+3\sqrt{15}}.$$

Упростим:

$$\sqrt{3}+3\sqrt{15}=\sqrt{3}\left(1+3\sqrt{5}\right),$$

поэтому

$$r=\frac{a\sqrt{11}}{\sqrt{3}\left(1+3\sqrt{5}\right)}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$r=\frac{a\sqrt{11}\left(3\sqrt{5}-1\right)}{\sqrt{3}\left(45-1\right)} =\frac{a\sqrt{11}\left(3\sqrt{5}-1\right)}{44\sqrt{3}} =\frac{a\left(3\sqrt{55}-\sqrt{11}\right)}{44\sqrt{3}}.$$