Упр.433 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна $$a$$, а боковое ребро равно $$2a$$. Найдите радиусы вписанной и описанной сфер.

Подробный ответ

Пусть $$SO=h$$ — высота пирамиды, а $$O$$ — центр равностороннего основания. Тогда $$AO$$ — радиус описанной окружности основания:

$$AO=\frac{a\sqrt3}{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SAO$$ имеем

$$SA^2=SO^2+AO^2,$$

то есть

$$4a^2=h^2+\frac{a^2}{3}.$$

Отсюда

$$h^2=\frac{11a^2}{3}, \qquad h=a\sqrt{\frac{11}{3}}.$$

Найдём радиус описанной сферы. Её центр лежит на прямой $$SO$$. Обозначим через $$R$$ радиус сферы. Тогда для вершины пирамиды и любой вершины основания:

$$R=\frac{SO+OD}{2},$$

где $$OD$$ — расстояние от центра сферы до вершины основания. Из прямоугольного треугольника с катетами $$OD$$ и $$SO$$ получаем

$$OD^2=R^2-h^2.$$

Но удобнее воспользоваться формулой для правильной пирамиды:

$$R=\frac{h^2+AO^2}{2h}.$$

Подставим найденные значения:

$$R=\frac{\frac{11a^2}{3}+\frac{a^2}{3}}{2a\sqrt{\frac{11}{3}}} =\frac{4a^2}{2a\sqrt{\frac{11}{3}}} =\frac{2a}{\sqrt{\frac{11}{3}}} =\frac{2a\sqrt{33}}{11}.$$

Теперь найдём радиус вписанной сферы. Для правильной пирамиды

$$r=\frac{3V}{S_{\text{полн}}}.$$

Площадь основания равностороннего треугольника:

$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$$

Площадь боковой поверхности состоит из трёх равных треугольников. Высота боковой грани к стороне основания равна

$$l=\sqrt{SA^2-\left(\frac a2\right)^2}=\sqrt{4a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}.$$

Тогда площадь одной боковой грани:

$$S_1=\frac12 al=\frac{a^2\sqrt{15}}{4},$$

а всей боковой поверхности:

$$S_{\text{бок}}=\frac{3a^2\sqrt{15}}{4}.$$

Объём пирамиды:

$$V=\frac13 S_{\text{осн}}h=\frac13\cdot \frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot a\sqrt{\frac{11}{3}}=\frac{a^3\sqrt{11}}{12}.$$

Полная поверхность:

$$S_{\text{полн}}=\frac{a^2\sqrt3}{4}+\frac{3a^2\sqrt{15}}{4} =\frac{a^2}{4}\left(\sqrt3+3\sqrt{15}\right).$$

Тогда

$$r=\frac{3V}{S_{\text{полн}}} =\frac{3\cdot \frac{a^3\sqrt{11}}{12}}{\frac{a^2}{4}\left(\sqrt3+3\sqrt{15}\right)} =\frac{a\sqrt{11}}{\sqrt3+3\sqrt{15}}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$r=\frac{a\sqrt{11}(\,3\sqrt{15}-\sqrt3\,)}{(3\sqrt{15})^2-(\sqrt3)^2} =\frac{a\sqrt{11}(\,3\sqrt{15}-\sqrt3\,)}{135-3} =\frac{a\sqrt{11}(\,3\sqrt{15}-\sqrt3\,)}{132}.$$

После упрощения получаем

$$r=\frac{a(3\sqrt{55}-\sqrt{33})}{44}.$$

Ответ: $$R=\frac{2a\sqrt{33}}{11}, \quad r=\frac{a(3\sqrt{55}-\sqrt{33})}{44}.$$