Упр.432 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Радиус сферы равен $$R$$. Найдите площадь полной поверхности: а) вписанного в сферу куба; б) вписанной правильной шестиугольной призмы, высота которой равна $$R$$; в) вписанного правильного тетраэдра.

Подробный ответ

а) У куба, вписанного в сферу, центр сферы совпадает с центром куба, а диаметр сферы равен пространственной диагонали куба. Поэтому

$$d=2R,\qquad d=a\sqrt{3},$$

где $$a$$ — ребро куба. Тогда

$$a=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Полная поверхность куба равна

$$S=6a^2=6\left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2=6\cdot\frac{4R^2}{3}=8R^2.$$

б) Рассмотрим осевое сечение правильной шестиугольной призмы. В этом сечении получаем прямоугольник, одна сторона которого равна высоте призмы $$h=R$$, а другая — диаметру описанной около правильного шестиугольника окружности, то есть $$2R$$. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне, значит сторона основания призмы равна $$a=R$$.

Площадь боковой поверхности:

$$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h=6a\cdot R=6R^2.$$

Площадь двух оснований:

$$2S_{\text{осн}}=2\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=3\sqrt{3}R^2.$$

Следовательно, полная поверхность призмы равна

$$S=6R^2+3\sqrt{3}R^2=3R^2(2+\sqrt{3}).$$

в) Пусть $$a$$ — ребро правильного тетраэдра. Для него радиус описанной сферы выражается формулой

$$R=\frac{a\sqrt{6}}{4},$$

откуда

$$a=\frac{4R}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}R.$$

Полная поверхность правильного тетраэдра состоит из 4 равносторонних треугольников:

$$S=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\sqrt{3}a^2.$$