Упр.432 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности: а) вписанного в сферу куба; б) вписанной правильной шестиугольной призмы, высота которой равна R; в) вписанного правильного тетраэдра.
а) Куб. Пусть ребро куба равно $$a$$. Тогда его пространственная диагональ равна диаметру сферы:
$$a\sqrt{3}=2R,$$
откуда
$$a=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$
Полная поверхность куба:
$$S=6a^2=6\cdot \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2=6\cdot \frac{4R^2}{3}=8R^2.$$
б) Правильная шестиугольная призма. Пусть сторона основания равна $$a$$, а высота призмы равна $$R$$. Центр сферы совпадает с центром призмы. Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через ось призмы и две противоположные вершины основания. В этом сечении получаем прямоугольный треугольник, у которого:
$$AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad OH=\frac{R}{2},$$
где $$AH$$ — радиус описанной окружности основания, а $$OH$$ — половина высоты призмы.
Так как вершина основания лежит на сфере, то
$$R^2=AH^2+OH^2=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{R}{2}\right)^2.$$
Отсюда
$$R^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{R^2}{4},$$
$$\frac{3a^2}{4}=\frac{3R^2}{4}, \qquad a=R.$$
Площадь боковой поверхности:
$$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h=6a\cdot R=6R^2.$$
Площадь двух оснований правильного шестиугольника:
$$S_{\text{осн}}=2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=3\sqrt{3}R^2.$$
Следовательно, полная поверхность призмы равна
$$S=6R^2+3\sqrt{3}R^2=(6+3\sqrt{3})R^2.$$
в) Правильный тетраэдр. Пусть ребро тетраэдра равно $$a$$. Для правильного тетраэдра радиус описанной сферы выражается формулой
$$R=\frac{a\sqrt{6}}{4},$$
откуда
$$a=\frac{4R}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}R.$$
Полная поверхность правильного тетраэдра состоит из четырёх равносторонних треугольников:
$$S=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\sqrt{3}a^2.$$
Подставим найденное $$a$$:
$$S=\sqrt{3}\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}R\right)^2=\sqrt{3}\cdot \frac{24}{9}R^2=\frac{8\sqrt{3}}{3}R^2.$$
Ответ
а) $$8R^2$$; б) $$(6+3\sqrt{3})R^2$$; в) $$\frac{8\sqrt{3}}{3}R^2$$.