Упр.431 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что:

а) около любого тетраэдра можно описать сферу;

б) в любой тетраэдр можно вписать сферу.

Подробный ответ

а) Пусть дан произвольный тетраэдр $$ABCD.$$ Рассмотрим плоскости серединных перпендикуляров к рёбрам $$AB,$$ $$AC,$$ $$AD.$$

Эти плоскости попарно пересекаются по прямой, а так как в тетраэдре все три ребра $$AB,\ AC,\ AD$$ выходят из одной вершины, то существует единственная точка $$O,$$ равноудалённая от точек $$A,$$ $$B,$$ $$C,$$ $$D.$$ Действительно, из равенств

$$OA=OB,\quad OA=OC,\quad OA=OD$$

следует, что

$$OA=OB=OC=OD.$$

Значит, сфера с центром в точке $$O$$ и радиусом $$R=OA$$ проходит через все четыре вершины тетраэдра. Следовательно, около любого тетраэдра можно описать сферу.

б) Пусть теперь в тетраэдр $$ABCD$$ можно вписать сферу с центром $$O.$$ Тогда эта сфера касается всех четырёх граней тетраэдра. Обозначим через $$r$$ её радиус, а через $$S_1,S_2,S_3,S_4$$ площади граней, лежащих против вершин $$A,B,C,D$$ соответственно.

Соединим центр сферы с вершинами тетраэдра. Тогда тетраэдр разбивается на четыре пирамиды с общим вершиной $$O$$ и основаниями $$S_1,S_2,S_3,S_4.$$ Их высота равна $$r,$$ поэтому объём тетраэдра равен сумме объёмов этих пирамид:

$$V=\frac13 S_1r+\frac13 S_2r+\frac13 S_3r+\frac13 S_4r=\frac13 r\,(S_1+S_2+S_3+S_4).$$

С другой стороны, если обозначить через $$S$$ полную поверхность тетраэдра, то

$$S=S_1+S_2+S_3+S_4,$$

и потому

$$V=\frac13 rS.$$

Это равенство показывает, что для данного тетраэдра существует точка, равноудалённая от всех его граней на расстояние $$r,$$ то есть центр вписанной сферы. Следовательно, в любой тетраэдр можно вписать сферу.

Ответ: около любого тетраэдра можно описать сферу; в любой тетраэдр можно вписать сферу.