Упр.430 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что центр сферы, описанной около: а) правильной призмы, лежит в середине отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы; б) правильной пирамиды, лежит на высоте этой пирамиды или её продолжении.

а) Пусть $$ABC\ldots A_1B_1C_1\ldots$$ — правильная призма, а $$O$$ и $$O_1$$ — центры её оснований. Так как призма правильная, то её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. Поэтому все точки, равноудалённые от вершин нижнего основания, лежат на перпендикуляре к плоскости основания, проведённом через его центр $$O$$; аналогично, все точки, равноудалённые от вершин верхнего основания, лежат на перпендикуляре к плоскости верхнего основания, проведённом через центр $$O_1$$.

Центр сферы, описанной около призмы, должен быть равноудалён от всех её вершин. Значит, он лежит одновременно на перпендикуляре к плоскости нижнего основания через $$O$$ и на перпендикуляре к плоскости верхнего основания через $$O_1$$. Эти перпендикуляры совпадают с осью призмы, то есть с прямой $$OO_1$$.

Кроме того, расстояния от центра сферы до вершин обоих оснований должны быть одинаковыми. Следовательно, центр сферы равноудалён от плоскостей оснований, а значит, лежит в середине отрезка $$OO_1$$.

б) Пусть $$D$$ — вершина правильной пирамиды, $$ABC\ldots$$ — её основание, $$H$$ — центр основания, $$DH$$ — высота пирамиды. Обозначим через $$O$$ центр сферы, описанной около пирамиды.

Так как $$O$$ равноудалён от вершин основания, то он лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через центр описанной около основания окружности. У правильного многоугольника центр описанной окружности совпадает с центром основания, то есть с точкой $$H$$. Значит, $$O$$ лежит на прямой $$DH$$.

Итак, центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на высоте этой пирамиды или на её продолжении.

Ответ: а) в середине отрезка, соединяющего центры оснований; б) на высоте пирамиды или её продолжении.