Упр.43 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что середины сторон пространственного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Рассмотрим пространственный четырёхугольник $$ABCD$$ и точки $$E, F, G, H$$ — середины его сторон $$AB, BC, CD, DA$$ соответственно.

Докажем, что $$EFGH$$ — параллелограмм.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, то $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно,

$$EF \parallel AC,$$

и

$$EF=\frac{AC}{2}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ADC$$. Так как $$H$$ и $$G$$ — середины сторон $$AD$$ и $$DC$$, то $$HG$$ — средняя линия треугольника $$ADC$$. Значит,

$$HG \parallel AC,$$

и

$$HG=\frac{AC}{2}.$$

Отсюда получаем:

$$EF \parallel HG,$$

а также

$$EF=HG.$$

Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, $$EFGH$$ — параллелограмм.

Ответ: $$EFGH$$ — параллелограмм.