Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.43 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Медиана $$АМ$$ и биссектриса $$CD$$ треугольника $$АВС$$ с прямым углом $$В$$ пересекаются в точке $$О$$. Найдите площадь треугольника $$АВС$$, если $$СО=9$$ и $$ОD=5$$.
Рассмотрим треугольник $$BCD$$. По теореме Менелая для треугольника $$BCD$$ и прямой $$AOM$$ получаем:
$$\frac{DO}{OC}\cdot \frac{CM}{MB}\cdot \frac{BA}{AD}=1.$$
Так как $$CM=BM$$, $$CO=9$$, $$OD=5$$, то
$$\frac{5}{9}\cdot 1\cdot \frac{BA}{AD}=1,$$
откуда
$$\frac{BA}{AD}=\frac{9}{5}.$$
Тогда
$$\frac{AB}{AD}=\frac{BD+DA}{AD}=\frac{4}{5},$$
то есть
$$\frac{BD}{AD}=\frac{4}{5}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем
$$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AD}=\frac{4}{5},$$
значит
$$\cos \angle C=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}.$$
Так как $$CD$$ — биссектриса угла $$C$$, то
$$\angle BCD=\frac{\angle C}{2},$$
и
$$\cos \angle BCD=\sqrt{\frac{1+\cos \angle C}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$
В треугольнике $$BCD$$ по теореме косинусов для стороны $$BC$$:
$$BC=DC\cos \angle BCD.$$
Так как $$DC=DO+OC=5+9=14,$$ то
$$BC=14\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{42}{\sqrt{10}}.$$
Из отношения $$\frac{BC}{AC}=\frac45$$ получаем
$$AC=\frac54\,BC=\frac54\cdot \frac{42}{\sqrt{10}}=\frac{105}{2\sqrt{10}}.$$
Теперь найдём $$AB$$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABC$$:
$$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{\frac{11025}{40}-\frac{7056}{40}}=\sqrt{\frac{3969}{40}}=\frac{63}{2\sqrt{10}}.$$
Тогда площадь треугольника:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC=\frac12\cdot \frac{63}{2\sqrt{10}}\cdot \frac{42}{\sqrt{10}}=\frac{1323}{20}.$$
Ответ: $$\frac{1323}{20}$$.
