Упр.43 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника* являются вершинами параллелограмма.

Подробный ответ

Обозначим середины сторон пространственного четырёхугольника $$ABCD$$ через $$E, F, G, H$$ соответственно, то есть $$AE=EB$$, $$BF=FC$$, $$CG=GD$$, $$DH=HA$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$E$$ и $$F$$ — середины его сторон $$AB$$ и $$BC$$, то $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно,

$$EF \parallel AC,\qquad EF=\frac{AC}{2}.$$

Рассмотрим треугольник $$ADC$$. Так как $$H$$ и $$G$$ — середины его сторон $$AD$$ и $$DC$$, то $$HG$$ — средняя линия треугольника $$ADC$$. Значит,

$$HG \parallel AC,\qquad HG=\frac{AC}{2}.$$

Отсюда получаем:

$$EF \parallel HG,\qquad EF=HG.$$

Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, $$EFGH$$ — параллелограмм.