Упр.429 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если в правильную усечённую четырехугольную пирамиду можно вписать сферу, то апофема пирамиды равна полусумме сторон оснований её боковой грани.

Пусть в правильную усечённую четырёхугольную пирамиду вписана сфера. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ось пирамиды и середины двух соседних боковых рёбер. В этом сечении получаем равнобедренную трапецию, в которую также вписана окружность.

Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность, сумма длин противоположных сторон равна:

$$MM_1+NN_1=M_1N_1+MN.$$

Так как пирамида правильная, то боковые рёбра равны, а соответствующие отрезки в сечении равны боковым сторонам трапеции. Обозначим апофему пирамиды через $$l$$, а стороны оснований боковой грани — через $$a$$ и $$b$$. Тогда в этом сечении

$$MM_1=NN_1=l,$$

$$M_1N_1=a,\qquad MN=b.$$

Подставляя в равенство для вписанного четырёхугольника, получаем:

$$l+l=a+b,$$

откуда

$$l=\frac{a+b}{2}.$$

Следовательно, апофема правильной усечённой четырёхугольной пирамиды, в которую можно вписать сферу, равна полусумме сторон оснований её боковой грани.