Упр.428 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Около сферы радиуса $$R$$ описана правильная четырёхугольная пирамида, плоский угол при вершине которой равен $$\alpha$$. а) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. б) Вычислите эту площадь при $$R=5\text{ см}$$, $$\alpha=60^\circ$$.

Пусть $$a$$ — сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды, $$l$$ — её апофема, $$r$$ — радиус вписанной в основание окружности. Тогда для квадрата $$r=\frac{a}{2}.$$

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды, центр основания и середину стороны основания. В этом сечении получаем прямоугольный треугольник, в котором

$$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{h},$$

где $$h$$ — высота пирамиды. Так как сфера касается всех граней пирамиды, её центр лежит на высоте пирамиды, а расстояние от центра сферы до боковой грани равно $$R$$.

Из того же сечения получаем

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{l}, \qquad \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{h}{l}.$$

Следовательно,

$$l=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}.$$

Найдём сторону основания через $$R$$ и $$\alpha$$. Для правильной пирамиды, описанной около сферы, выполняется

$$R=\frac{h+r}{2}.$$

Подставляя $$h=r\cot\frac{\alpha}{2}$$, получаем

$$R=\frac{r\left(1+\cot\frac{\alpha}{2}\right)}{2}.$$

Отсюда

$$r=\frac{2R}{1+\cot\frac{\alpha}{2}}=\frac{2R\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan\frac{\alpha}{2}}.$$

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна

$$S_{\text{бок}}=4\cdot \frac12 al=2al.$$

Так как $$a=2r$$, то

$$S_{\text{бок}}=4rl=4r\cdot \frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{4r^2}{\sin\frac{\alpha}{2}}.$$

Подставим найденное $$r$$:

$$S_{\text{бок}}=\frac{4}{\sin\frac{\alpha}{2}}\left(\frac{2R\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan\frac{\alpha}{2}}\right)^2.$$

Упростим выражение, используя формулы половинного угла. В результате получаем

$$S_{\text{бок}}=\frac{4R^2}{\tan\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}.$$

Теперь подставим $$R=5$$ см, $$\alpha=60^\circ$$:

$$S_{\text{бок}}=\frac{4\cdot 5^2}{\tan 30^\circ}\cdot \frac{\cos 60^\circ}{1-\sin 60^\circ}.$$

Так как $$\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt3}, \qquad \cos 60^\circ=\frac12, \qquad \sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},$$

то

$$S_{\text{бок}}=100\sqrt3\cdot \frac{\frac12}{1-\frac{\sqrt3}{2}}=100\sqrt3\cdot \frac{1}{2-\sqrt3}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$S_{\text{бок}}=100\sqrt3\cdot (2+\sqrt3)=100(2\sqrt3+3).$$

Ответ: $$S_{\text{бок}}=\frac{4R^2}{\tan\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}, \qquad S_{\text{бок}}=100(2\sqrt3+3)\text{ см}^2.$$