Упр.427 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите площадь полной поверхности описанного около сферы радиуса $$R$$ многогранника, если этот многогранник: а) куб; б) правильная шестиугольная призма; в) правильный тетраэдр.

Подробный ответ

а) У куба с ребром $$a$$ сфера касается всех его граней, значит расстояние от центра куба до каждой грани равно $$R$$. Тогда

$$\frac{a}{2}=R,\qquad a=2R.$$

Полная поверхность куба:

$$S=6a^2=6\cdot (2R)^2=24R^2.$$

б) Пусть сторона правильной шестиугольной призмы равна $$a$$, а её высота — $$H$$. Сфера касается всех боковых граней, поэтому расстояние от оси призмы до стороны основания равно $$R$$, то есть радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен $$R$$. Для правильного шестиугольника

$$R=\frac{\sqrt{3}}{2}a,\qquad a=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Высота призмы равна диаметру сферы:

$$H=2R.$$

Площадь боковой поверхности:

$$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot H=6a\cdot 2R=12aR=12\cdot \frac{2R}{\sqrt{3}}\cdot R=8\sqrt{3}\,R^2.$$

Площадь одного основания:

$$S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{4R^2}{3}=2\sqrt{3}\,R^2.$$

Тогда полная поверхность:

$$S=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}=8\sqrt{3}\,R^2+4\sqrt{3}\,R^2=12\sqrt{3}\,R^2.$$

в) В правильном тетраэдре все грани — равносторонние треугольники. Пусть его ребро равно $$a$$. Для правильного тетраэдра радиус вписанной сферы выражается формулой

$$R=\frac{a\sqrt{6}}{12}.$$

Отсюда

$$a=2\sqrt{6}\,R.$$

Площадь одной грани:

$$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 24R^2=6\sqrt{3}\,R^2.$$

Всего граней 4, значит полная поверхность:

$$S=4S_1=24\sqrt{3}\,R^2.$$