Упр.427 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите площадь полной поверхности описанного около сферы радиуса R многогранника, если этот многогранник: а) куб; б) правильная шестиугольная призма; в) правильный тетраэдр.

а) Куб. Пусть ребро куба равно $$a$$. Сфера, вписанная в куб, касается всех его граней, значит расстояние от центра куба до каждой грани равно радиусу сферы:

$$\frac{a}{2}=R,$$

откуда

$$a=2R.$$

Полная поверхность куба:

$$S=6a^2=6\cdot (2R)^2=24R^2.$$

б) Правильная шестиугольная призма. Высота призмы равна диаметру сферы, то есть

$$h=2R.$$

Сфера касается всех боковых граней, значит в основании призмы должна быть окружность, вписанная в правильный шестиугольник. Для правильного шестиугольника со стороной $$a$$ радиус вписанной окружности равен

$$r=\frac{\sqrt{3}}{2}a.$$

Так как эта окружность имеет радиус $$R$$, получаем

$$R=\frac{\sqrt{3}}{2}a,\qquad a=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Площадь боковой поверхности:

$$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h=6a\cdot 2R=12aR=12\cdot \frac{2R}{\sqrt{3}}\cdot R=8\sqrt{3}\,R^2.$$

Площадь одного основания правильного шестиугольника:

$$S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{4R^2}{3}=2\sqrt{3}\,R^2.$$

Тогда полная поверхность призмы:

$$S= S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}=8\sqrt{3}\,R^2+2\cdot 2\sqrt{3}\,R^2=12\sqrt{3}\,R^2.$$

в) Правильный тетраэдр. Пусть ребро тетраэдра равно $$a$$. Для правильного тетраэдра радиус вписанной сферы выражается формулой

$$R=\frac{a\sqrt{6}}{12}.$$

Отсюда

$$a=2\sqrt{6}\,R.$$

Площадь одной грани — равностороннего треугольника:

$$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (2\sqrt{6}\,R)^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 24R^2=6\sqrt{3}\,R^2.$$

У тетраэдра 4 равные грани, значит

$$S=4S_1=4\cdot 6\sqrt{3}\,R^2=24\sqrt{3}\,R^2.$$

Ответ

а) $$24R^2$$; б) $$12\sqrt{3}\,R^2$$; в) $$24\sqrt{3}\,R^2$$.