Упр.426 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды.
Возьмём для простоты правильную треугольную пирамиду. Пусть $$SD$$ — её высота.
Проведём в боковой грани $$SBC$$ отрезок $$SE$$, перпендикулярный ребру $$BC$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$DE \perp BC$$.
В плоскости $$SDE$$ рассмотрим окружность, вписанную в треугольник $$SDE$$. Её центр $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$\angle SDE$$ и равноудалён от сторон $$SD$$ и $$SE$$. Так как $$SE \perp BC$$ и $$DE \perp BC$$, то прямая $$DE$$ является высотой треугольника $$SBC$$, а в правильной пирамиде все боковые грани равны, значит соответствующие высоты боковых граней равны.
Сфера, вписанная в пирамиду, касается всех её граней. Поэтому её центр должен быть равноудалён от всех граней пирамиды. В частности, он лежит на линии пересечения плоскостей, равноудалённых от боковых граней, а в правильной пирамиде эта линия совпадает с высотой пирамиды.
Следовательно, центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на её высоте $$SD$$.
