Упр.425 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если в правильную призму можно вписать сферу, то центром сферы является середина отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы.

Пусть сфера касается плоскостей оснований правильной призмы в точках, равноудалённых от этих плоскостей. Тогда центр сферы должен лежать на прямой, перпендикулярной основаниям призмы и проходящей через центры оснований, так как он равноудалён от всех точек каждой из параллельных плоскостей.

Обозначим центры оснований призмы через $$O_1$$ и $$O_2$$, а центр вписанной сферы — через $$O$$. Поскольку сфера касается обеих плоскостей оснований, расстояния от точки $$O$$ до этих плоскостей равны. Значит, точка $$O$$ лежит на середине отрезка, соединяющего центры оснований, то есть на отрезке $$O_1O_2$$ и делит его пополам.

Следовательно, центром сферы является середина отрезка, соединяющего центры оснований правильной призмы.