Упр.424 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
В усечённый конус вписана правильная усечённая $$n$$-угольная пирамида (т. е. основания пирамиды вписаны в основания усечённого конуса). Радиусы оснований усечённого конуса равны $$2\text{ см}$$ и $$5\text{ см}$$, а высота равна $$4\text{ см}$$. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды при: а) $$n=3$$; б) $$n=4$$; в) $$n=6$$.
Обозначим радиусы оснований усечённого конуса через $$R=5$$ см и $$r=2$$ см, высоту — $$h=4$$ см. Правильная усечённая $$n$$-угольная пирамида вписана в усечённый конус, значит её основания — правильные $$n$$-угольники, вписанные в окружности радиусов $$R$$ и $$r$$.
Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности.
Для правильного $$n$$-угольника, вписанного в окружность радиуса $$\rho$$, площадь равна
$$S_n=\frac{n}{2}\rho^2\sin\frac{2\pi}{n}.$$
Боковая поверхность правильной усечённой пирамиды состоит из $$n$$ равных равнобедренных трапеций. Их высота равна апофеме усечённого конуса, то есть длине образующей в сечении через ось:
$$l=\sqrt{h^2+(R-r)^2}=\sqrt{4^2+(5-2)^2}=5.$$
Пусть $$a_n$$ и $$b_n$$ — стороны правильных $$n$$-угольников, вписанных в окружности радиусов $$R$$ и $$r$$. Тогда
$$a_n=2R\sin\frac{\pi}{n},\qquad b_n=2r\sin\frac{\pi}{n}.$$
Площадь одной боковой грани — трапеции:
$$S_1=\frac{a_n+b_n}{2}\cdot l.$$
Следовательно, боковая поверхность пирамиды:
$$S_{\text{бок}}=n\cdot \frac{a_n+b_n}{2}\cdot l.$$
а) $$n=3$$
$$a_3=2\cdot 5\cdot \sin 60^\circ=5\sqrt{3},\qquad b_3=2\cdot 2\cdot \sin 60^\circ=2\sqrt{3}.$$
Площади оснований:
$$S_{\text{ниж}}=\frac{3}{2}\cdot 5^2\sin 120^\circ=\frac{75\sqrt{3}}{4},$$
$$S_{\text{верх}}=\frac{3}{2}\cdot 2^2\sin 120^\circ=3\sqrt{3}.$$
Боковая поверхность:
$$S_{\text{бок}}=3\cdot \frac{5\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{2}\cdot 5=\frac{105\sqrt{3}}{2}.$$
Тогда
$$S=\frac{75\sqrt{3}}{4}+3\sqrt{3}+\frac{105\sqrt{3}}{2}=\frac{513\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2.$$
б) $$n=4$$
$$a_4=2\cdot 5\cdot \sin 45^\circ=5\sqrt{2},\qquad b_4=2\cdot 2\cdot \sin 45^\circ=2\sqrt{2}.$$
Площади оснований:
$$S_{\text{ниж}}=4\cdot \frac{1}{2}\cdot 5\sqrt{2}\cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}=50,$$
$$S_{\text{верх}}=4\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{2}=8.$$
Боковая поверхность:
$$S_{\text{бок}}=4\cdot \frac{5\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}\cdot 5=70\sqrt{2}.$$
Следовательно,
$$S=50+8+70\sqrt{2}=58+70\sqrt{2}\ \text{см}^2.$$
в) $$n=6$$
Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, сторона равна радиусу, поэтому
$$a_6=5,\qquad b_6=2.$$
Площади оснований:
$$S_{\text{ниж}}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 5^2=\frac{75\sqrt{3}}{2},$$
$$S_{\text{верх}}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2^2=6\sqrt{3}.$$
Боковая поверхность:
$$S_{\text{бок}}=6\cdot \frac{5+2}{2}\cdot 5=105.$$
Итак,
$$S=105+\frac{75\sqrt{3}}{2}+6\sqrt{3}=105+\frac{87\sqrt{3}}{2}\ \text{см}^2.$$
Ответ
а) $$\frac{513\sqrt{3}}{4}\ \text{см}^2$$; б) $$58+70\sqrt{2}\ \text{см}^2$$; в) $$105+\frac{87\sqrt{3}}{2}\ \text{см}^2$$.
