Упр.424 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B усеченный конус вписана правильная усеченная л-угольная пирамида (т. e. основания пирамиды вписаны в основания усеченного конуса). Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 5 см, а высота равна 4 см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды при: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6.
Обозначим радиусы оснований усечённого конуса через $$R=5$$ см и $$r=2$$ см, высоту усечённого конуса — $$h=4$$ см.
Так как в усечённый конус вписана правильная усечённая $$n$$-угольная пирамида, то её основания — правильные $$n$$-угольники, вписанные в окружности радиусов $$R$$ и $$r$$.
Для правильного $$n$$-угольника, вписанного в окружность радиуса $$\rho$$, сторона равна
$$a=2\rho\sin\frac{\pi}{n}.$$
Значит, стороны оснований пирамиды равны
$$a_1=2R\sin\frac{\pi}{n}, \qquad a_2=2r\sin\frac{\pi}{n}.$$
Апофема боковой грани усечённой пирамиды равна высоте боковой трапеции. Её можно найти из прямоугольного треугольника, где один катет равен высоте усечённого конуса $$h=4$$, а второй — разности расстояний от центра до сторон оснований правильных многоугольников:
$$\rho_R=R\cos\frac{\pi}{n}, \qquad \rho_r=r\cos\frac{\pi}{n},$$
поэтому
$$d=\rho_R-\rho_r=(R-r)\cos\frac{\pi}{n}=3\cos\frac{\pi}{n}.$$
Тогда апофема боковой грани
$$l=\sqrt{h^2+d^2}=\sqrt{16+9\cos^2\frac{\pi}{n}}.$$
Площадь боковой поверхности усечённой правильной пирамиды:
$$S_{\text{бок}}=\frac{P_1+P_2}{2}\,l,$$
где $$P_1$$ и $$P_2$$ — периметры оснований.
Так как $$P_1=na_1$$, $$P_2=na_2$$, то
$$S_{\text{бок}}=\frac{n(a_1+a_2)}{2}\,l = n(R+r)\sin\frac{\pi}{n}\cdot l =7n\sin\frac{\pi}{n}\cdot l.$$
Полная поверхность:
$$S=S_{\text{бок}}+S_1+S_2,$$
где
$$S_1=\frac12 P_1\rho_R=\frac12\cdot na_1\cdot R\cos\frac{\pi}{n} = nR^2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n},$$
$$S_2=\frac12 P_2\rho_r=\frac12\cdot na_2\cdot r\cos\frac{\pi}{n} = nr^2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n}.$$
Следовательно,
$$S=n\sin\frac{\pi}{n}\left(7l+(R^2+r^2)\cos\frac{\pi}{n}\right) =n\sin\frac{\pi}{n}\left(7l+29\cos\frac{\pi}{n}\right).$$
а) $$n=3$$.
$$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos\frac{\pi}{3}=\frac12,$$
$$l=\sqrt{16+9\cdot\frac14}=\sqrt{\frac{73}{4}}=\frac{\sqrt{73}}{2}.$$
Тогда
$$S=3\cdot\frac{\sqrt3}{2}\left(7\cdot\frac{\sqrt{73}}{2}+29\cdot\frac12\right) =\frac{3\sqrt3}{4}\left(7\sqrt{73}+29\right).$$
б) $$n=4$$.
$$\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$$
$$l=\sqrt{16+9\cdot\frac12}=\sqrt{\frac{41}{2}}=\frac{\sqrt{82}}{2}.$$
Тогда
$$S=4\cdot\frac{\sqrt2}{2}\left(7\cdot\frac{\sqrt{82}}{2}+29\cdot\frac{\sqrt2}{2}\right) =7\sqrt{82}+58.$$
в) $$n=6$$.
$$\sin\frac{\pi}{6}=\frac12, \qquad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},$$
$$l=\sqrt{16+9\cdot\frac34}=\sqrt{\frac{91}{4}}=\frac{\sqrt{91}}{2}.$$
Тогда
$$S=6\cdot\frac12\left(7\cdot\frac{\sqrt{91}}{2}+29\cdot\frac{\sqrt3}{2}\right) =\frac{21\sqrt{91}+87\sqrt3}{2}.$$
Ответ
а) $$\frac{3\sqrt3}{4}\left(7\sqrt{73}+29\right)$$ см$$^2$$; б) $$7\sqrt{82}+58$$ см$$^2$$; в) $$\frac{21\sqrt{91}+87\sqrt3}{2}$$ см$$^2$$.