Упр.423 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В конус высотой $$12\ \text{см}$$ вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со сторонами $$6\ \text{см}$$ и $$8\ \text{см}$$. Найдите отношение площадей полных поверхностей пирамиды и конуса.

Подробный ответ

Пусть основание пирамиды — прямоугольник $$ABCD$$, а вершина конуса и пирамиды — точка $$S$$. Тогда $$SO\perp ABCD$$, где $$O$$ — центр прямоугольника.

Так как пирамида вписана в конус, то вершины основания прямоугольника лежат на окружности основания конуса. Следовательно, радиус основания конуса равен половине диагонали прямоугольника:

$$BD=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10,$$
$$r=\frac{BD}{2}=5.$$

Найдём образующую конуса:

$$l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=13.$$

Тогда полная поверхность конуса равна

$$S_{\text{кон}}=\pi r^2+\pi rl=\pi\cdot 5^2+\pi\cdot 5\cdot 13=25\pi+65\pi=90\pi.$$

Теперь найдём полную поверхность пирамиды. Площадь основания:

$$S_{ABCD}=6\cdot 8=48.$$

Так как центр прямоугольника $$O$$ — точка пересечения диагоналей, то расстояния от него до сторон равны:

$$OK=\frac{8}{2}=4,\qquad OL=\frac{6}{2}=3.$$

Апофемы боковых граней:

$$SK=\sqrt{SO^2+OK^2}=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{160}=4\sqrt{10},$$
$$SL=\sqrt{SO^2+OL^2}=\sqrt{12^2+3^2}=\sqrt{153}=3\sqrt{17}.$$

Площади боковых граней:

$$S_{SAD}=\frac12\cdot AD\cdot SK=\frac12\cdot 6\cdot 4\sqrt{10}=12\sqrt{10},$$
$$S_{SBC}=\frac12\cdot BC\cdot SK=\frac12\cdot 6\cdot 4\sqrt{10}=12\sqrt{10},$$
$$S_{SAB}=\frac12\cdot AB\cdot SL=\frac12\cdot 8\cdot 3\sqrt{17}=12\sqrt{17},$$
$$S_{SCD}=\frac12\cdot CD\cdot SL=\frac12\cdot 8\cdot 3\sqrt{17}=12\sqrt{17}.$$

Значит, полная поверхность пирамиды:

$$S_{\text{пир}}=48+2\cdot 12\sqrt{10}+2\cdot 12\sqrt{17}=48+24\sqrt{10}+24\sqrt{17}.$$

Искомое отношение:

$$\frac{S_{\text{пир}}}{S_{\text{кон}}}=\frac{48+24\sqrt{10}+24\sqrt{17}}{90\pi} =\frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{17}+2)}{15\pi}.$$

Ответ: $$\frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{17}+2)}{15\pi}$$.