Упр.423 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B конус высотой 12 см вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Найдите отношение площадей полных поверхностей пирамиды и конуса.

Пусть $O$ — центр основания конуса, а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса. Тогда высота пирамиды равна высоте конуса:

$$SO=12\text{ см}.$$

Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами $6$ см и $8$ см. Его диагональ равна

$$BD=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10\text{ см}.$$

Так как прямоугольник вписан в окружность основания конуса, то его диагональ равна диаметру основания конуса:

$$2r=10,\qquad r=5\text{ см}.$$

Найдём полную поверхность конуса. Его образующая:

$$l=\sqrt{SO^2+r^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=13\text{ см}.$$

Тогда

$$S_{\text{кон}}=\pi r^2+\pi rl=\pi\cdot 5^2+\pi\cdot 5\cdot 13=25\pi+65\pi=90\pi.$$

Теперь найдём полную поверхность пирамиды.

Площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=6\cdot 8=48.$$

Рассмотрим боковые грани. Для грани с основанием $6$ см расстояние от центра прямоугольника до этой стороны равно половине другой стороны:

$$3\text{ см}.$$

Значит, высота этой боковой грани:

$$\sqrt{12^2+3^2}=\sqrt{144+9}=\sqrt{153}=3\sqrt{17}.$$

Площадь двух таких граней:

$$2\cdot \frac12\cdot 6\cdot 3\sqrt{17}=18\sqrt{17}.$$

Для грани с основанием $8$ см расстояние от центра до этой стороны равно

$$4\text{ см},$$

поэтому высота этой грани равна

$$\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}.$$

Площадь двух таких граней:

$$2\cdot \frac12\cdot 8\cdot 4\sqrt{10}=32\sqrt{10}.$$

Следовательно, полная поверхность пирамиды:

$$S_{\text{пир}}=48+18\sqrt{17}+32\sqrt{10}.$$

Искомое отношение:

$$\frac{S_{\text{пир}}}{S_{\text{кон}}}=\frac{48+18\sqrt{17}+32\sqrt{10}}{90\pi} =\frac{8+3\sqrt{17}+\frac{16}{3}\sqrt{10}}{15\pi}.$$

Ответ

$$\frac{S_{\text{пир}}}{S_{\text{кон}}}=\frac{48+18\sqrt{17}+32\sqrt{10}}{90\pi}.$$