Упр.422 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если одна из граней вписанной в цилиндр треугольной призмы проходит через ось цилиндра, то две другие грани взаимно перпендикулярны.
Пусть основанием призмы служит треугольник $$ABC$$, а боковые рёбра равны $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$. Так как призма вписана в цилиндр, то её вершины лежат на окружностях оснований цилиндра.
Если одна из граней призмы проходит через ось цилиндра, то эта грань содержит диаметр окружности основания цилиндра. Обозначим эту грань через $$ABB_1A_1$$. Тогда в основании цилиндра отрезок $$AB$$ — диаметр окружности.
Следовательно, угол, опирающийся на диаметр, прямой:
$$\angle ACB=90^\circ.$$
Так как боковые рёбра цилиндра перпендикулярны плоскости основания, то
$$CC_1\perp (ABC).$$
Отсюда прямая $$CC_1$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC$$, в частности $$CC_1\perp BC$$. Значит, плоскость $$BCC_1B_1$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$.
Плоскость $$ABB_1A_1$$ содержит прямую $$AB$$, а плоскость $$BCC_1B_1$$ содержит прямую $$BC$$. В плоскости основания $$AB\perp BC$$, поэтому двугранный угол между этими боковыми гранями прямой.
Итак, две другие грани призмы взаимно перпендикулярны.
