Упр.421 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Тело ограничено двумя сферами с общим центром. Докажите, что площадь его сечения плоскостью, проходящей через центры сфер, равна площади сечения плоскостью, касательной к внутренней сфере.

Пусть $$R$$ — радиус внешней сферы, а $$r$$ — радиус внутренней сферы.

Рассмотрим сечение тела плоскостью, проходящей через центры сфер. Тогда сечение внешней сферы — круг радиуса $$R$$, а сечение внутренней сферы — круг радиуса $$r$$. Следовательно, площадь сечения тела равна площади кольца:

$$S_1=\pi R^2-\pi r^2=\pi\left(R^2-r^2\right).$$

Теперь рассмотрим плоскость, касательную к внутренней сфере. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости, поэтому расстояние от центра сфер до этой плоскости равно $$r$$.

В сечении внешней сферы получаем круг радиуса $$x$$, где по теореме Пифагора

$$x^2=R^2-r^2.$$

Тогда площадь сечения равна

$$S_2=\pi x^2=\pi\left(R^2-r^2\right).$$

Итак,

$$S_1=S_2.$$

Ответ

Площадь сечения плоскостью, проходящей через центры сфер, равна площади сечения плоскостью, касательной к внутренней сфере.