Упр.420 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Вне сферы радиуса $$10\ \text{см}$$ дана точка $$M$$ на расстоянии $$16\ \text{см}$$ от ближайшей точки сферы. Найдите длину такой окружности на сфере, все точки которой удалены от точки $$M$$ на расстояние $$24\ \text{см}$$.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр сферы, $$R=10$$ см. Обозначим через $$A$$ ближайшую к точке $$M$$ точку сферы. Тогда

$$OM=OA+AM=10+16=26\text{ см}.$$

Рассмотрим окружность на сфере, все точки которой удалены от $$M$$ на $$24$$ см. Пусть $$B$$ — любая её точка, $$OB=r$$ — радиус этой окружности, а $$C$$ — проекция точки $$B$$ на прямую $$OM$$. Тогда $$OC=x$$, $$CB=r$$.

Из прямоугольных треугольников $$OMB$$ и $$OAB$$ получаем:

$$\begin{cases} OM^2=OB^2+MB^2,\\ OA^2=OB^2+AC^2. \end{cases}$$

Так как $$MB=24$$, $$OA=10$$, $$OM=26$$, а $$AC=OM-OC=26-x$$, то удобнее записать через расстояния до оси $$OM$$:

$$\begin{cases} x^2+r^2=10^2,\\ (26-x)^2+r^2=24^2. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(26-x)^2-x^2=24^2-10^2$$

$$676-52x=576-100=476,$$

$$52x=200,\qquad x=\frac{50}{13}.$$

Тогда

$$r^2=10^2-\left(\frac{50}{13}\right)^2 =100-\frac{2500}{169} =\frac{16900-2500}{169} =\frac{14400}{169},$$

$$r=\frac{120}{13}\text{ см}.$$

Длина искомой окружности: