Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.42 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. На продолжении за точку $$B$$ диаметра $$AB$$ окружности отложен отрезок $$BC$$, равный диаметру. Прямая, проходящая через точку $$C$$, касается окружности в точке $$M$$. Найдите площадь треугольника $$ACM$$, если радиус окружности равен $$R$$.

Так как $$AB$$ — диаметр окружности, то $$AB=2R$$. По условию на продолжении отрезка $$AB$$ за точку $$B$$ отложен отрезок $$BC$$, равный диаметру, значит

$$BC=2R,\qquad AC=AB+BC=4R.$$

Пусть $$O$$ — центр окружности. Тогда $$OM=R$$, а прямая $$CM$$ касается окружности в точке $$M$$, следовательно, $$OM\perp CM$$. Значит, треугольник $$OMC$$ прямоугольный.

Найдём $$OC$$:

$$OC=OB+BC=R+2R=3R.$$

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике $$OMC$$:

$$CM=\sqrt{OC^2-OM^2} =\sqrt{(3R)^2-R^2} =\sqrt{9R^2-R^2} =\sqrt{8R^2} =2R\sqrt{2}.$$

Кроме того,

$$\sin \angle OCM=\frac{OM}{OC}=\frac{R}{3R}=\frac13.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$ACM$$ по формуле

$$S_{ACM}=\frac12\cdot AC\cdot CM\cdot \sin \angle OCM.$$

Подставим найденные значения:

$$S_{ACM}=\frac12\cdot 4R\cdot 2R\sqrt2\cdot \frac13 =\frac{4\sqrt2}{3}R^2.$$

Ответ

$$\frac{4\sqrt2}{3}R^2$$