Упр.419 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точки А, В, C и D лежат на сфере радиуса R, причем ZADB = = ZBDC = ZCDA = 2ф, AD = BD = CD. Найдите: a)AB и AD; б) площадь сечения сферы плоскостью ABC.
Обозначим $$AD=BD=CD=x,$$ $$AB=a.$$
Так как $$AD=BD=CD,$$ то точка $$D$$ равноудалена от точек $$A,$$ $$B,$$ $$C.$$ Следовательно, прямая, проходящая через центр сферы и точку $$D,$$ перпендикулярна плоскости $$ABC.$$ Пусть $$O$$ — центр сферы, а $$r$$ — радиус окружности сечения сферы плоскостью $$ABC.$$ Тогда $$OA=OB=OC=R,$$ а точки $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ лежат на окружности радиуса $$r$$ в плоскости $$ABC.$$
Из условия $$\angle ADB=\angle BDC=\angle CDA=2\varphi.$$ Тогда в равнобедренных треугольниках $$ADB,$$ $$BDC,$$ $$CDA$$ углы при основании равны:
$$\angle DAB=\angle DBA=\angle DBC=\angle BCD=\angle DCA=\angle CAD=90^\circ-\varphi.$$
Значит, треугольник $$ABC$$ равносторонний, и его сторона равна $$a.$$
По теореме синусов в треугольнике $$ADB$$:
$$ \frac{a}{\sin 2\varphi}=\frac{x}{\sin(90^\circ-\varphi)}=\frac{x}{\cos\varphi}. $$
Отсюда
$$ a=\frac{x\sin 2\varphi}{\cos\varphi}=2x\sin\varphi. $$
Теперь рассмотрим треугольник $$ABC.$$ Так как он равносторонний, то его описанная окружность имеет радиус
$$ r=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2x\sin\varphi}{\sqrt{3}}. $$
С другой стороны, в прямоугольных треугольниках $$AOD$$ и $$AOK$$, где $$K$$ — проекция точки $$D$$ на плоскость $$ABC,$$ имеем:
$$ DK^2=AD^2-AK^2=x^2-r^2, $$
$$ OK^2=OA^2-AK^2=R^2-r^2. $$
Так как $$O,$$ $$K,$$ $$D$$ лежат на одной прямой и $$OD=OK+KD=R,$$ то
$$ \sqrt{x^2-r^2}+\sqrt{R^2-r^2}=R. $$
Подставим $$r=\dfrac{2x\sin\varphi}{\sqrt{3}}$$ и после преобразований получим
$$ x^2=4R^2\left(1-\frac{4}{3}\sin^2\varphi\right). $$
Следовательно,
$$ AD=x=2R\sqrt{\frac{3-4\sin^2\varphi}{3}}. $$
Тогда
$$ AB=a=2x\sin\varphi=4R\sin\varphi\sqrt{\frac{3-4\sin^2\varphi}{3}}. $$
Площадь сечения сферы плоскостью $$ABC$$ равна площади круга радиуса $$r$$:
$$ S=\pi r^2=\pi\left(\frac{2x\sin\varphi}{\sqrt{3}}\right)^2 =\frac{4}{3}\pi x^2\sin^2\varphi. $$
Подставляя найденное $$x^2,$$ получаем
$$ S=\frac{16}{3}\pi R^2\sin^2\varphi\left(1-\frac{4}{3}\sin^2\varphi\right) =\frac{16}{9}\pi R^2\sin^2\varphi\,(3-4\sin^2\varphi). $$
Ответ
$$AD=2R\sqrt{\frac{3-4\sin^2\varphi}{3}},$$
$$AB=4R\sin\varphi\sqrt{\frac{3-4\sin^2\varphi}{3}},$$
$$S_{ABC}=\frac{16}{9}\pi R^2\sin^2\varphi\,(3-4\sin^2\varphi).$$