Упр.419 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на сфере радиуса $R$, причем $$\angle ADB=\angle BDC=\angle CDA=2\varphi$$, $$AD=BD=CD$$. Найдите:
а) $$AB$$ и $$AD$$;
б) площадь сечения сферы плоскостью $$ABC$$.

Подробный ответ

Обозначим $$AD=BD=CD=x,$$ $$AB=a,$$ $$\angle ADB=\angle BDC=\angle CDA=2\varphi.$$

Так как $$AD=BD=CD,$$ то точки $$A,B,C$$ лежат на окружности с центром в точке $$D$$ и радиусом $$x$$. Тогда $$\triangle ABC$$ — равносторонний, а его сторона $$a$$ находится из теоремы косинусов в $$\triangle ADB$$:

$$a^2=x^2+x^2-2x^2\cos 2\varphi=2x^2(1-\cos 2\varphi)=4x^2\sin^2\varphi,$$

значит

$$a=2x\sin\varphi.$$

Пусть $$O$$ — центр сферы, $$R$$ — её радиус. Проведём перпендикуляр $$OK$$ к плоскости $$ABC$$, где $$K$$ — центр окружности, описанной около $$\triangle ABC$$. Тогда

$$KA=KB=KC=r,$$

где $$r$$ — радиус этой окружности. Для равностороннего треугольника

$$r=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2x\sin\varphi}{\sqrt{3}}.$$

Из равенства $$AD=BD=CD$$ следует, что точка $$D$$ равноудалена от $$A,B,C$$, значит она лежит на прямой $$OK$$. Поэтому в прямоугольных треугольниках $$OKA$$ и $$OKD$$ имеем:

$$OA^2=OK^2+KA^2,\qquad OD^2=OK^2+KD^2.$$

Так как $$OA=OD=R,$$ то $$KA=KD=r,$$ а значит

$$OK^2=R^2-r^2,\qquad DK^2=x^2-r^2.$$

Кроме того, точки $$O,K,D$$ лежат на одной прямой, и

$$OK+KD=OD=R.$$

Следовательно,

$$\sqrt{R^2-r^2}+\sqrt{x^2-r^2}=R.$$

Подставим $$r=\dfrac{2x\sin\varphi}{\sqrt{3}}$$ и после преобразований получим

$$x=2R\sqrt{\frac{3-4\sin^2\varphi}{3}}.$$

Тогда

$$AB=a=2x\sin\varphi =4R\sin\varphi\sqrt{\frac{3-4\sin^2\varphi}{3}}.$$

Площадь сечения сферы плоскостью $$ABC$$ равна площади круга радиуса $$r$$:

$$S=\pi r^2=\pi\left(\frac{2x\sin\varphi}{\sqrt{3}}\right)^2 =\frac{4}{3}\pi x^2\sin^2\varphi.$$

Подставляя найденное $$x^2=\dfrac{4R^2(3-4\sin^2\varphi)}{3},$$ получаем

$$S=\frac{16}{9}\pi R^2\sin^2\varphi\,(3-4\sin^2\varphi).$$

Ответ

$$AB=4R\sin\varphi\sqrt{\frac{3-4\sin^2\varphi}{3}},$$
$$AD=2R\sqrt{\frac{3-4\sin^2\varphi}{3}},$$
$$S=\frac{16}{9}\pi R^2\sin^2\varphi\,(3-4\sin^2\varphi).$$