Упр.418 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Расстояние между центрами двух равных сфер меньше их диаметра. а) Докажите, что пересечением этих сфер является окружность. б) Найдите радиус этой окружности, если радиусы сфер равны $$R$$, а расстояние между их центрами равно $$1{,}6R$$.

Выберем систему координат так, чтобы центры сфер были точками $$O(0,0,0)$$ и $$O_1(0,d,0)$$, где $$d<2R$$ — расстояние между центрами сфер.

Тогда уравнения сфер имеют вид:

$$x^2+y^2+z^2=R^2,$$

$$x^2+(y-d)^2+z^2=R^2.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$x^2+(y-d)^2+z^2-\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)=0,$$

$$y^2-2dy+d^2-y^2=0,$$

$$2dy-d^2=0,$$

$$y=\frac d2.$$

Значит, все общие точки сфер лежат в плоскости $$y=\frac d2$$, которая параллельна плоскости $$Oxz$$. Пересечение этой плоскости с каждой сферой — окружность, следовательно, пересечение двух сфер тоже является окружностью.

Найдём её радиус. Подставим $$y=\frac d2$$ в уравнение первой сферы:

$$x^2+\left(\frac d2\right)^2+z^2=R^2,$$

$$x^2+z^2=R^2-\frac{d^2}{4}.$$

Это уравнение окружности радиуса

$$r=\sqrt{R^2-\frac{d^2}{4}}.$$

Если $$d=1{,}6R$$, то

$$r=\sqrt{R^2-\frac{(1{,}6R)^2}{4}}=\sqrt{R^2-\frac{2{,}56R^2}{4}}=\sqrt{R^2-0{,}64R^2}=\sqrt{0{,}36R^2}=0{,}6R.$$

Ответ: а) пересечение сфер — окружность; б) $$r=0{,}6R$$.