Упр.418 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Расстояние между центрами двух равных сфер меньше их диаметра. а) Докажите, что пересечением этих сфер является окружность. б) Найдите радиус этой окружности, если радиусы сфер равны R, а расстояние между их центрами равно 1,6Д.

Подробный ответ

Обозначим центры сфер через $$O$$ и $$O_1$$, а расстояние между ними через $$d$$. По условию $$d<2R$$.

Расположим систему координат так, чтобы середина отрезка $$OO_1$$ была в начале координат, а прямая $$OO_1$$ совпадала с осью $$Oy$$. Тогда уравнения сфер имеют вид:

$$x^2+y^2+z^2=R^2,$$
$$x^2+(y-d)^2+z^2=R^2.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$x^2+(y-d)^2+z^2-\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)=0,$$
$$y^2-2dy+d^2-y^2=0,$$
$$2dy-d^2=0.$$

Так как $$d>0$$, получаем

$$y=\frac d2.$$

Значит, все точки пересечения сфер лежат в плоскости $$y=\frac d2$$, то есть пересечение сфер — окружность. Подставим $$y=\frac d2$$ в уравнение первой сферы:

$$x^2+\left(\frac d2\right)^2+z^2=R^2,$$
$$x^2+z^2=R^2-\frac{d^2}{4}.$$

Это уравнение окружности радиуса

$$r=\sqrt{R^2-\frac{d^2}{4}}.$$

При $$d=1{,}6R$$ имеем:

$$r=\sqrt{R^2-\frac{(1{,}6R)^2}{4}}=\sqrt{R^2-\frac{2{,}56R^2}{4}}=\sqrt{R^2-0{,}64R^2}=\sqrt{0{,}36R^2}=0{,}6R.$$