Упр.417 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Два прямоугольника лежат в различных плоскостях и имеют общую сторону. Докажите, что все вершины данных прямоугольников лежат на одной сфере.

Подробный ответ

Обозначим прямоугольники $$ABCD$$ и $$ABEF$$, причём они лежат в различных плоскостях и имеют общую сторону $$AB$$.

Проведём через точку $$A$$ прямую $$l$$, перпендикулярную плоскости $$ABCD$$. Тогда все точки, равноудалённые от вершин прямоугольника $$ABCD$$, лежат на прямой $$l$$. Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей прямоугольника $$ABCD$$. Тогда $$OA=OB=OC=OD$$.

Построим через точку $$O$$ прямую $$m$$, перпендикулярную плоскости $$ABEF$$. Так как плоскости $$ABCD$$ и $$ABEF$$ пересекаются по прямой $$AB$$, а $$l \perp (ABCD)$$ и $$m \perp (ABEF)$$, то прямые $$l$$ и $$m$$ пересекаются в некоторой точке $$S$$.

Докажем, что точка $$S$$ равноудалена от всех вершин обоих прямоугольников.

Так как $$S \in l$$ и $$l \perp (ABCD)$$, то $$SA=SB$$ и, аналогично, $$SC=SD$$. Кроме того, из свойств прямоугольника $$ABCD$$ имеем $$OA=OB$$, поэтому треугольники $$SOA$$ и $$SOB$$ равны, откуда $$SA=SB$$.

Аналогично, поскольку $$S \in m$$ и $$m \perp (ABEF)$$, получаем $$SA=SE$$ и $$SB=SF$$. Следовательно,

$$SA=SB=SC=SD=SE=SF.$$

Значит, все шесть вершин прямоугольников равноудалены от точки $$S$$. Следовательно, они лежат на одной сфере с центром в точке $$S$$.