Упр.417 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Два прямоугольника лежат в различных плоскостях и имеют общую сторону. Докажите, что все вершины данных прямоугольников лежат на одной сфере.

Подробный ответ

Через точку пересечения диагоналей прямоугольника $$ABCD$$ проведём прямую, перпендикулярную плоскости $$ABCD$$. Обозначим точку пересечения этой прямой с плоскостью второго прямоугольника $$ABEF$$ через $$O_1$$.

Так как прямоугольники имеют общую сторону $$AB$$, то их плоскости пересекаются по прямой $$AB$$. Проведём через точку $$O_1$$ прямую $$m \perp (ABEF)$$. Если две плоскости перпендикулярны, то любая прямая одной из них, перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости. Поэтому $$m \perp (ABCD)$$.

Пусть $$m$$ пересекает плоскость $$ABCD$$ в точке $$O$$. Тогда точка $$O$$ равноудалена от вершин прямоугольника $$ABCD$$, то есть

$$OA=OB=OC=OD.$$

Аналогично, точка $$O_1$$ равноудалена от вершин прямоугольника $$ABEF$$, значит

$$O_1A=O_1B=O_1E=O_1F.$$

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую $$m$$ и точку $$A$$. Она содержит точки $$O$$ и $$O_1$$, а также общую сторону $$AB$$. Из равенства расстояний получаем, что точки $$O$$ и $$O_1$$ лежат на одной прямой, перпендикулярной обеим плоскостям, и потому совпадают. Обозначим эту общую точку через $$S$$.

Тогда

$$SA=SB=SC=SD,$$

и одновременно

$$SA=SB=SE=SF.$$

Следовательно,

$$SA=SB=SC=SD=SE=SF.$$

Значит, все вершины обоих прямоугольников равноудалены от одной и той же точки $$S$$. Следовательно, они лежат на сфере с центром в точке $$S$$.

Ответ: все вершины данных прямоугольников лежат на одной сфере.