Упр.416 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точка A лежит на радиусе данной сферы с центром O и делит этот радиус в отношении 1 : 2, считая от центра сферы. Через точку A проведена плоскость а так, что радиус сферы с центром О, касающейся плоскости а, в 6 раз меньше радиуса данной сферы. Найдите: а) угол между прямой OA и плоскостью а; б) отношение площади сечения данной сферы плоскостью а к площади самой сферы.

Подробный ответ

Обозначим радиус данной сферы через $$R$$. Тогда, так как точка $$A$$ делит радиус $$OA$$ в отношении $$1:2$$, считая от центра, получаем

$$OA=\frac{R}{3}.$$

Плоскость $$\alpha$$ проведена через точку $$A$$ и касается сферы меньшего радиуса, центр которой также в точке $$O$$. Значит, расстояние от центра $$O$$ до плоскости $$\alpha$$ равно радиусу этой меньшей сферы. По условию он в 6 раз меньше радиуса данной сферы, то есть

$$d(O,\alpha)=\frac{R}{6}.$$

Пусть $$P$$ — основание перпендикуляра из точки $$O$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$OP\perp \alpha$$ и $$OP=\frac{R}{6}$$. Угол между прямой $$OA$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен углу между прямой $$OA$$ и её проекцией $$AP$$ на плоскость.

В прямоугольном треугольнике $$OAP$$ имеем

$$\sin \angle OAP=\frac{OP}{OA}=\frac{R/6}{R/3}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно,

$$\angle OAP=30^\circ.$$

Это и есть искомый угол между прямой $$OA$$ и плоскостью $$\alpha$$.

Теперь найдём отношение площадей. Радиус сечения сферы плоскостью $$\alpha$$ равен $$AP$$. Из теоремы Пифагора в треугольнике $$OAP$$:

$$AP^2=OA^2-OP^2=\left(\frac{R}{3}\right)^2-\left(\frac{R}{6}\right)^2=\frac{R^2}{9}-\frac{R^2}{36}=\frac{R^2}{12}.$$

Тогда площадь сечения:

$$S_1=\pi AP^2=\pi\cdot \frac{R^2}{12}=\frac{\pi R^2}{12}.$$

Площадь поверхности сферы:

$$S_2=4\pi R^2.$$

Искомое отношение равно