Упр.416 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точка $$A$$ лежит на радиусе данной сферы с центром $$O$$ и делит этот радиус в отношении $$1:2$$, считая от центра сферы. Через точку $$A$$ проведена плоскость $$\alpha$$ так, что радиус сферы с центром $$O$$, касающейся плоскости $$\alpha$$, в 6 раз меньше радиуса данной сферы. Найдите:
   а) угол между прямой $$OA$$ и плоскостью $$\alpha$$;
   б) отношение площади сечения данной сферы плоскостью $$\alpha$$ к площади самой сферы.

Обозначим радиус данной сферы через $$R.$$ Тогда точка $$A$$ делит радиус $$OA$$ в отношении $$1:2$$, считая от центра, значит

$$OA=\frac{R}{3}.$$

Радиус сферы, касающейся плоскости $$\alpha,$$ в $$6$$ раз меньше радиуса данной сферы, поэтому расстояние от центра $$O$$ до плоскости $$\alpha$$ равно

$$OP=\frac{R}{6},$$

где $$P$$ — основание перпендикуляра из $$O$$ на плоскость $$\alpha.$$

а)

Угол между прямой $$OA$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен углу между прямой $$OA$$ и её проекцией $$AP$$ на эту плоскость. В прямоугольном треугольнике $$OAP$$ имеем

$$\sin \angle OAP=\frac{OP}{OA}=\frac{R/6}{R/3}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно,

$$\angle OAP=30^\circ.$$

Значит, угол между прямой $$OA$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен $$30^\circ.$$

б)

Пусть $$T$$ — точка пересечения плоскости $$\alpha$$ с прямой, проходящей через центр сферы и перпендикулярной плоскости. Тогда радиус сечения равен $$TP.$$

В прямоугольном треугольнике $$OPT$$:

$$OT=R,\qquad OP=\frac{R}{6}.$$

По теореме Пифагора

$$TP^2=OT^2-OP^2=R^2-\left(\frac{R}{6}\right)^2=R^2-\frac{R^2}{36}=\frac{35}{36}R^2.$$

Тогда площадь сечения:

$$S_{\text{сеч}}=\pi TP^2=\pi\cdot \frac{35}{36}R^2.$$

Площадь поверхности сферы:

$$S_{\text{сф}}=4\pi R^2.$$

Искомое отношение равно

$$\frac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{сф}}}=\frac{\pi\cdot \frac{35}{36}R^2}{4\pi R^2}=\frac{35}{144}.$$

Ответ: а) $$30^\circ$$; б) $$\frac{35}{144}$$.