Упр.415 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Вершины прямоугольного треугольника с катетами 1,8 см и 2,4 см лежат на сфере, а) Докажите, что если радиус сферы равен 1,5 см, то центр сферы лежит в плоскости треугольника, б) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 6,5 см.

Подробный ответ

Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника:

$$c=\sqrt{1{,}8^2+2{,}4^2}=\sqrt{3{,}24+5{,}76}=\sqrt{9}=3\text{ см}.$$

Тогда радиус описанной окружности треугольника равен половине гипотенузы:

$$R_{\triangle}=\frac{3}{2}=1{,}5\text{ см}.$$

а) Если радиус сферы равен $$1{,}5\text{ см}$$, то вершины треугольника лежат на сфере, а расстояние от центра сферы до каждой вершины равно $$1{,}5\text{ см}$$. Но центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы — тоже равноудалён от всех вершин на расстояние $$1{,}5\text{ см}$$. Значит, центр сферы совпадает с этим центром описанной окружности и лежит в плоскости треугольника.

б) Пусть $$O$$ — центр сферы, $$K$$ — центр описанной окружности треугольника, а $$OK$$ — расстояние от центра сферы до плоскости треугольника. Тогда для любой вершины треугольника, например для $$A$$, имеем:

$$OA=6{,}5\text{ см}, \qquad KA=1{,}5\text{ см}.$$

Так как $$OK \perp$$ плоскости треугольника, то $$OK \perp KA$$, и в прямоугольном треугольнике $$OKA$$ по теореме Пифагора:

$$OK=\sqrt{OA^2-KA^2}=\sqrt{6{,}5^2-1{,}5^2}=\sqrt{42{,}25-2{,}25}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\text{ см}.$$