Упр.415 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Вершины прямоугольного треугольника с катетами $$1{,}8\text{ см}$$ и $$2{,}4\text{ см}$$ лежат на сфере. а) Докажите, что если радиус сферы равен $$1{,}5\text{ см}$$, то центр сферы лежит в плоскости треугольника; б) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен $$6{,}5\text{ см}$$.
Обозначим гипотенузу прямоугольного треугольника через $$AC$$. Тогда
$$AC=\sqrt{1{,}8^2+2{,}4^2}=\sqrt{3{,}24+5{,}76}=\sqrt{9}=3\text{ см}.$$
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит в середине гипотенузы. Значит, расстояние от этого центра до любой вершины треугольника равно
$$\frac{AC}{2}=\frac{3}{2}=1{,}5\text{ см}.$$
а) Если радиус сферы равен $$1{,}5\text{ см}$$, то центр сферы находится на расстоянии $$1{,}5\text{ см}$$ от всех вершин треугольника. Следовательно, он совпадает с центром описанной окружности треугольника, а значит, лежит в плоскости треугольника.
б) Пусть $$O$$ — центр сферы, $$K$$ — центр описанной окружности треугольника, а $$h$$ — расстояние от центра сферы до плоскости треугольника. Тогда $$OK \perp$$ плоскости треугольника, и для любой вершины, например $$A$$, имеем прямоугольный треугольник $$OAK$$:
$$OA^2=OK^2+KA^2.$$
Так как $$OA=6{,}5\text{ см}$$, а $$KA=1{,}5\text{ см}$$, то
$$OK=\sqrt{OA^2-KA^2} =\sqrt{6{,}5^2-1{,}5^2} =\sqrt{42{,}25-2{,}25} =\sqrt{40}=2\sqrt{10}\text{ см}.$$
Следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно $$2\sqrt{10}\text{ см}$$.
Ответ: а) центр сферы лежит в плоскости треугольника; б) $$2\sqrt{10}\text{ см}$$.
