Упр.413 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны. Одно из оснований осевого сечения равно 40 см, а его площадь равна 36 дм2. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса.

Обозначим основания осевого сечения усечённого конуса через $$BC$$ и $$AD$$, где $$AD=40\text{ см}$$. Пусть $$MN$$ — высота трапеции, тогда $$MN$$ равна высоте усечённого конуса.

По условию диагонали осевого сечения перпендикулярны. Для трапеции с перпендикулярными диагоналями площадь равна произведению оснований на высоту, делённому на 2:

$$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot MN.$$

Так как площадь осевого сечения равна $$36\text{ дм}^2=3600\text{ см}^2$$, получаем:

$$3600=\frac{BC+40}{2}\cdot MN.$$

Средняя линия трапеции равна

$$\frac{BC+40}{2}=MN.$$

Тогда

$$3600=MN^2,$$

откуда

$$MN=60\text{ см}.$$

Следовательно,

$$\frac{BC+40}{2}=60,$$

$$BC=80\text{ см}.$$

Теперь найдём образующую $$l$$. В прямоугольном треугольнике, образованном половиной осевого сечения, горизонтальный катет равен

$$\frac{BC-AD}{2}=\frac{80-40}{2}=20\text{ см},$$

а вертикальный катет равен $$MN=60\text{ см}$$. Поэтому

$$l=\sqrt{20^2+60^2}=\sqrt{4000}=20\sqrt{10}\text{ см}.$$

Площадь боковой поверхности усечённого конуса:

$$S_{\text{бок}}=\pi(R+r)l,$$

где $$R=40\text{ см}$$, $$r=20\text{ см}$$. Тогда

$$S_{\text{бок}}=\pi(40+20)\cdot 20\sqrt{10}=1200\pi\sqrt{10}\text{ см}^2.$$

Площади оснований:

$$S_1=\pi R^2=\pi\cdot 40^2=1600\pi\text{ см}^2,$$

$$S_2=\pi r^2=\pi\cdot 20^2=400\pi\text{ см}^2.$$

Тогда полная поверхность равна

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_1+S_2=1200\pi\sqrt{10}+1600\pi+400\pi.$$

$$S_{\text{полн}}=1200\pi\sqrt{10}+2000\pi\text{ см}^2.$$

Ответ

$$S_{\text{бок}}=1200\pi\sqrt{10}\text{ см}^2,\qquad S_{\text{полн}}=1200\pi\sqrt{10}+2000\pi\text{ см}^2.$$