Упр.413 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны. Одно из оснований осевого сечения равно $$40\ \text{см}$$, а его площадь равна $$36\ \text{дм}^2$$. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобедренная трапеция, у которой основания равны диаметрам оснований усечённого конуса, а боковые стороны — образующим.

Пусть меньшее основание трапеции равно $$2r$$, большее — $$2R$$. По условию одно из оснований осевого сечения равно $$40\text{ см}$$, значит соответствующий радиус равен $$20\text{ см}$$.

Площадь осевого сечения равна $$36\text{ дм}^2=3600\text{ см}^2$$. Для трапеции с перпендикулярными диагоналями площадь равна произведению оснований на высоту, делённому на 2, то есть

$$S=\frac{(2R+2r)h}{2}=(R+r)h.$$

Из условия и чертежа получаем, что высота трапеции равна $$h=60\text{ см}$$, а тогда

$$3600=(R+r)\cdot 60,$$

откуда

$$R+r=60.$$

Так как одно основание равно $$40\text{ см}$$, то один из радиусов равен $$20\text{ см}$$, следовательно, другой радиус равен

$$60-20=40\text{ см}.$$

Теперь найдём образующую усечённого конуса. В прямоугольном треугольнике с катетами $$20\text{ см}$$ и $$60\text{ см}$$ имеем

$$l=\sqrt{20^2+60^2}=\sqrt{4000}=20\sqrt{10}\text{ см}.$$

Площадь боковой поверхности усечённого конуса:

$$S_{\text{бок}}=\pi(R+r)l=\pi\cdot 60\cdot 20\sqrt{10}=1200\pi\sqrt{10}\text{ см}^2.$$

Площадь полной поверхности равна сумме боковой поверхности и площадей оснований:

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+\pi R^2+\pi r^2.$$

Подставим значения:

$$S_{\text{полн}}=1200\pi\sqrt{10}+\pi\cdot 40^2+\pi\cdot 20^2$$

$$S_{\text{полн}}=1200\pi\sqrt{10}+1600\pi+400\pi=1200\pi\sqrt{10}+2000\pi\text{ см}^2.$$

Ответ

$$S_{\text{бок}}=1200\pi\sqrt{10}\text{ см}^2,\qquad S_{\text{полн}}=1200\pi\sqrt{10}+2000\pi\text{ см}^2.$$