Упр.412 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см. Вычислите площадь полной поверхности правильной л-угольной пирамиды, вписанной в конус*, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6.

Подробный ответ

Обозначим высоту конуса через $$PO=4$$ см, радиус основания конуса через $$R=3$$ см. Тогда образующая конуса

$$ PK=\sqrt{PO^2+OK^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ см}. $$

Площадь полной поверхности правильной вписанной пирамиды равна сумме площади основания и боковой поверхности.

а) $$n=3$$. Основание пирамиды — равносторонний треугольник, вписанный в окружность радиуса $$R=3$$. Для равностороннего треугольника

$$ a=\sqrt{3}\,R=3\sqrt{3}. $$

Его площадь:

$$ S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} =\frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} =\frac{27\sqrt{3}}{4}. $$

Апофема пирамиды — это высота боковой грани. Пусть $$K$$ — середина стороны основания. Тогда $$OK$$ — радиус вписанной окружности треугольника:

$$ OK=\frac{r}{ }=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{6}=\frac{3}{2}. $$

Следовательно, апофема пирамиды

$$ l=PK=\sqrt{PO^2+OK^2}=\sqrt{4^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{73}{4}}=\frac{\sqrt{73}}{2}. $$

Площадь боковой поверхности:

$$ S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}Pl=\frac{1}{2}\cdot 3a\cdot l =\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{73}}{2} =\frac{9\sqrt{219}}{4}. $$

Тогда

$$ S_{\text{полн}}=\frac{27\sqrt{3}}{4}+\frac{9\sqrt{219}}{4} =\frac{9\sqrt{3}}{4}\,(3+\sqrt{73}). $$

б) $$n=4$$. Основание пирамиды — квадрат, вписанный в окружность радиуса $$R=3$$. Тогда диагональ квадрата равна диаметру окружности:

$$ a\sqrt{2}=2R=6,\qquad a=3\sqrt{2}. $$

Площадь основания:

$$ S_{\text{осн}}=a^2=(3\sqrt{2})^2=18. $$

Расстояние от центра квадрата до середины его стороны:

$$ OK=\frac{a}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}. $$

Апофема пирамиды:

$$ l=PK=\sqrt{PO^2+OK^2} =\sqrt{4^2+\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} =\sqrt{16+\frac{18}{4}} =\sqrt{\frac{41}{2}} =\frac{\sqrt{82}}{2}. $$

Площадь одной боковой грани:

$$ S_1=\frac{1}{2}\cdot a\cdot l =\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{82}}{2} =\frac{3\sqrt{41}}{2}. $$

Всего граней 4, значит

$$ S_{\text{бок}}=4S_1=6\sqrt{41}. $$

Итак,

$$ S_{\text{полн}}=18+6\sqrt{41}. $$

в) $$n=6$$. Основание пирамиды — правильный шестиугольник, вписанный в окружность радиуса $$R=3$$. Для правильного шестиугольника сторона равна радиусу:

$$ a=R=3. $$

Площадь основания:

$$ S_{\text{осн}}=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} =6\cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} =\frac{27\sqrt{3}}{2}. $$

Апофема основания правильного шестиугольника:

$$ OK=r=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}. $$

Тогда апофема пирамиды

$$ l=PK=\sqrt{PO^2+OK^2} =\sqrt{4^2+\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} =\sqrt{16+\frac{27}{4}} =\sqrt{\frac{91}{4}} =\frac{\sqrt{91}}{2}. $$

Площадь одной боковой грани:

$$ S_1=\frac{1}{2}\cdot a\cdot l =\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{91}}{2} =\frac{3\sqrt{91}}{4}. $$

Всего граней 6, значит

$$ S_{\text{бок}}=6S_1=\frac{9\sqrt{91}}{2}. $$

Следовательно,