Упр.412 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высота конуса равна $$4\ \text{см}$$, а радиус основания равен $$3\ \text{см}$$. Вычислите площадь полной поверхности правильной $$n$$-угольной пирамиды, вписанной в конус, если: а) $$n=3$$; б) $$n=4$$; в) $$n=6$$.

Обозначим высоту конуса через $$h=4$$ см, радиус основания — $$R=3$$ см. Для правильной $$n$$-угольной пирамиды, вписанной в конус, вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а основание — правильный $$n$$-угольник, вписанный в окружность основания конуса.

Пусть $$r$$ — радиус вписанной в основание пирамиды окружности, $$a$$ — сторона основания пирамиды, $$l$$ — апофема пирамиды, $$P$$ — периметр основания.

Для правильного многоугольника, вписанного в окружность радиуса $$R$$, имеем:

$$a=2R\sin\frac{\pi}{n}, \qquad r=R\cos\frac{\pi}{n}.$$

Площадь полной поверхности пирамиды:

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}, \qquad S_{\text{бок}}=\frac12Pl,$$

где $$P=na$$, а апофема пирамиды находится из прямоугольного треугольника с катетами $$h$$ и $$r$$:

$$l=\sqrt{h^2+r^2}.$$

а) $$n=3$$

Тогда основание — равносторонний треугольник.

$$a=2\cdot 3\sin 60^\circ=3\sqrt3,$$

$$r=3\cos 60^\circ=\frac32,$$

$$l=\sqrt{4^2+\left(\frac32\right)^2}=\sqrt{16+\frac94}=\frac{\sqrt{73}}{2}.$$

Площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{(3\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=\frac{27\sqrt3}{4}.$$

Боковая поверхность:

$$S_{\text{бок}}=\frac12\cdot 3a\cdot l=\frac12\cdot 3\cdot 3\sqrt3\cdot \frac{\sqrt{73}}{2}=\frac{9\sqrt{219}}{4}.$$

Следовательно,

$$S_{\text{полн}}=\frac{27\sqrt3}{4}+\frac{9\sqrt{219}}{4}=\frac{9}{4}\left(3\sqrt3+\sqrt{219}\right)\text{ см}^2.$$

б) $$n=4$$

Тогда основание — квадрат.

Диагональ квадрата равна диаметру окружности основания конуса:

$$d=2R=6,$$

значит, сторона квадрата

$$a=\frac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2.$$

Радиус вписанной окружности квадрата:

$$r=\frac{a}{2}=\frac{3\sqrt2}{2}.$$

Апофема пирамиды:

$$l=\sqrt{4^2+\left(\frac{3\sqrt2}{2}\right)^2}=\sqrt{16+\frac92}=\sqrt{\frac{41}{2}}=\frac{\sqrt{82}}{2}.$$

Площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=a^2=(3\sqrt2)^2=18.$$

Боковая поверхность:

$$S_{\text{бок}}=\frac12\cdot 4a\cdot l=2al=2\cdot 3\sqrt2\cdot \frac{\sqrt{82}}{2}=6\sqrt{41}.$$

Итак,

$$S_{\text{полн}}=18+6\sqrt{41}\text{ см}^2.$$

в) $$n=6$$

Тогда основание — правильный шестиугольник.

Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, сторона равна радиусу окружности:

$$a=R=3.$$

Радиус вписанной окружности:

$$r=R\cos 30^\circ=3\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}.$$

Апофема пирамиды:

$$l=\sqrt{4^2+\left(\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt{16+\frac{27}{4}}=\sqrt{\frac{91}{4}}=\frac{\sqrt{91}}{2}.$$

Площадь основания правильного шестиугольника:

$$S_{\text{осн}}=6\cdot \frac{a^2\sqrt3}{4}=6\cdot \frac{9\sqrt3}{4}=\frac{27\sqrt3}{2}.$$

Боковая поверхность:

$$S_{\text{бок}}=\frac12\cdot 6a\cdot l=3al=3\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{91}}{2}=\frac{9\sqrt{91}}{2}.$$

Следовательно,

$$S_{\text{полн}}=\frac{27\sqrt3}{2}+\frac{9\sqrt{91}}{2}=\frac{9}{2}\left(3\sqrt3+\sqrt{91}\right)\text{ см}^2.$$

Ответ

а) $$\frac{9}{4}\left(3\sqrt3+\sqrt{219}\right)\text{ см}^2$$; б) $$18+6\sqrt{41}\text{ см}^2$$; в) $$\frac{9}{2}\left(3\sqrt3+\sqrt{91}\right)\text{ см}^2$$.