Упр.411 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Равнобедренная трапеция, основания которой равны $$6\ \text{см}$$ и $$10\ \text{см}$$, а острый угол $$60^\circ$$, вращается вокруг большего основания. Вычислите площадь поверхности полученного тела.

Подробный ответ

При вращении равнобедренной трапеции вокруг большего основания получается тело, состоящее из цилиндра и двух одинаковых конусов.

Пусть основания трапеции равны $$10\text{ см}$$ и $$6\text{ см}$$, а острый угол равен $$60^\circ$$. Тогда на каждом краю большего основания «лишняя» часть равна

$$\frac{10-6}{2}=2\text{ см}.$$

Это основание каждого из двух конусов. Обозначим радиус вращения через $$r$$. Из прямоугольного треугольника у боковой стороны трапеции:

$$\cos 60^\circ=\frac{2}{AB},$$

откуда

$$AB=\frac{2}{\cos 60^\circ}=\frac{2}{1/2}=4\text{ см}.$$

Высота трапеции, а значит и высота цилиндра, равна

$$h=\sqrt{AB^2-2^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\text{ см}.$$

Теперь найдём площади поверхностей частей тела.

Площадь боковой поверхности цилиндра:

$$S_{\text{цил}}=2\pi rh=2\pi\cdot 2\sqrt{3}\cdot 6=24\sqrt{3}\pi.$$

Площадь боковой поверхности одного конуса:

$$S_{\text{кон}}=\pi rl=\pi\cdot 2\sqrt{3}\cdot 4=8\sqrt{3}\pi,$$