Упр.410 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямоугольный треугольник с катетами а и b вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь поверхности полученного тела.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы получаются два конуса с общей основанием, то есть поверхность тела состоит из боковых поверхностей этих конусов.

Пусть катеты треугольника равны $$a$$ и $$b$$, а гипотенуза равна $$c$$. Тогда

$$c=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Обозначим через $$r$$ радиус общего основания конусов. Он равен высоте, опущенной из прямого угла на гипотенузу. Из свойств прямоугольного треугольника:

$$r=\frac{ab}{c}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Образующие конусов равны катетам треугольника: для одного конуса $$l_1=a$$, для другого $$l_2=b$$.

Тогда площадь поверхности полученного тела равна сумме боковых поверхностей двух конусов:

$$S=\pi r l_1+\pi r l_2=\pi r(a+b).$$

Подставим найденное значение $$r$$:

$$S=\pi \cdot \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot (a+b).$$

Итак,

$$S=\frac{\pi ab(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Ответ

$$\frac{\pi ab(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}$$