Упр.410 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямоугольный треугольник с катетами $$a$$ и $$b$$ вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь поверхности полученного тела.
При вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы получается два конуса с общей основанием.
Обозначим гипотенузу через $$c=\sqrt{a^2+b^2}.$$
Радиус общего основания равен высоте, опущенной из прямого угла на гипотенузу. По формуле для прямоугольного треугольника:
$$r=\frac{ab}{c}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$
Образующие полученных конусов равны катетам треугольника, то есть $$l_1=a$$ и $$l_2=b.$$
Тогда площадь боковой поверхности первого конуса:
$$S_1=\pi r l_1=\pi \cdot \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot a=\frac{\pi a^2b}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$
Площадь боковой поверхности второго конуса:
$$S_2=\pi r l_2=\pi \cdot \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot b=\frac{\pi ab^2}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$
Искомая площадь поверхности тела равна сумме этих площадей:
$$S=S_1+S_2=\frac{\pi a^2b}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{\pi ab^2}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\pi ab(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$
Ответ: $$\frac{\pi ab(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$
