Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.41 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите площадь трапеции с основаниями, равными $$18$$ и $$13$$, и боковыми сторонами, равными $$3$$ и $$4$$.

Обозначим через $$BH$$ высоту трапеции, опущенную из точки $$B$$ на основание $$AD$$, а через $$E$$ — точку на основании, для которой $$BE \parallel CD$$ и $$BE=CD=3$$.

Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABE$$ имеем

$$AE=AD-BC=18-13=5.$$

По теореме Пифагора:

$$AE^2=AB^2+BE^2,$$

то есть

$$5^2=4^2+3^2,$$

следовательно, треугольник $$ABE$$ прямоугольный, и $$\angle B=90^\circ$$.

Площадь треугольника $$ABE$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{ABE}=\frac{AE\cdot BH}{2}=\frac{AB\cdot BE}{2}.$$

Подставим значения:

$$\frac{5\cdot BH}{2}=\frac{4\cdot 3}{2},$$

откуда

$$5BH=12,\qquad BH=\frac{12}{5}.$$

Теперь найдём площадь трапеции:

$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=\frac{18+13}{2}\cdot \frac{12}{5}.$$

$$S=\frac{31}{2}\cdot \frac{12}{5}=37{,}2.$$

Ответ: $$37{,}2$$.