Упр.409 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите угол между образующей и высотой конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой 270°.

Подробный ответ

Пусть $$l$$ — образующая конуса, $$h$$ — его высота, а $$\beta$$ — угол между образующей и высотой.

Развёртка боковой поверхности конуса — сектор радиуса $$l$$ с дугой $$270^\circ$$. Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, поэтому

$$\frac{r}{l}=\frac{270^\circ}{360^\circ}=\frac{3}{4},$$

где $$r$$ — радиус основания конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей. В нём

$$\sin \beta=\frac{r}{l}.$$

Следовательно,

$$\sin \beta=\frac{3}{4},$$

откуда

$$\beta=\arcsin \frac{3}{4}.$$

Это и есть угол между образующей и высотой конуса.