Упр.409 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите угол между образующей и высотой конуса, если развёрткой его боковой поверхности является сектор с дугой $$270^\circ$$.

Пусть $$l$$ — образующая конуса, $$h$$ — его высота, $$\beta$$ — искомый угол между образующей и высотой.

Развёртка боковой поверхности конуса — сектор с дугой $$270^\circ$$. Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, поэтому

$$\frac{r}{l}=\frac{270^\circ}{360^\circ}=\frac{3}{4}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей. В этом треугольнике

$$\sin \beta=\frac{r}{l}.$$

Следовательно,

$$\sin \beta=\frac{3}{4},$$

откуда

$$\beta=\arcsin \frac{3}{4}.$$

Таким образом, угол между образующей и высотой конуса равен $$\arcsin \frac{3}{4}$$.

Ответ

$$\arcsin \frac{3}{4}$$