Упр.408 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в $$120^\circ$$, проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в $$45^\circ$$. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен $$4\text{ см}$$.
Пусть $$O$$ — центр основания конуса, $$D$$ и $$B$$ — концы хорды основания, а $$P$$ — вершина конуса. Тогда сечение — треугольник $$PDB$$.
Так как хорда $$DB$$ стягивает дугу $$120^\circ$$, то центральный угол $$\angle DOB=120^\circ$$. В равнобедренном треугольнике $$DOB$$ имеем
$$\angle ODB=\angle OBD=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$
По теореме синусов в треугольнике $$DOB$$:
$$\frac{DB}{\sin 120^\circ}=\frac{OB}{\sin 30^\circ}$$
так как $$OB=4$$, то
$$DB=\frac{4\sin 120^\circ}{\sin 30^\circ} =\frac{4\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} =4\sqrt3.$$
Найдём расстояние от центра $$O$$ до хорды $$DB$$. В прямоугольном треугольнике $$OCD$$, где $$C$$ — середина хорды $$DB$$,
$$OC=\sqrt{OD^2-DC^2} =\sqrt{4^2-\left(\frac{DB}{2}\right)^2} =\sqrt{16-\left(2\sqrt3\right)^2} =\sqrt{16-12}=2.$$
Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол $$45^\circ$$, значит в сечении через перпендикуляр к хорде получаем
$$\angle PCO=45^\circ.$$
Тогда в прямоугольном треугольнике $$PCO$$
$$PC=\frac{OC}{\cos 45^\circ} =\frac{2}{\frac{\sqrt2}{2}} =2\sqrt2.$$
Площадь треугольника $$PDB$$ равна
$$S_{PDB}=\frac12\cdot DB\cdot PC =\frac12\cdot 4\sqrt3\cdot 2\sqrt2 =4\sqrt6.$$
Ответ: $$4\sqrt6\ \text{см}^2$$.
