Упр.408 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 120°, проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен 4 см.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр основания конуса, $$P$$ — его вершина, $$DB$$ — хорда основания, стягивающая дугу в $$120^\circ$$. Тогда в основании $$\angle DOB=120^\circ$$.

Проведём $$OC\perp DB$$. В равнобедренном треугольнике $$DOB$$ отрезок $$OC$$ является также медианой, поэтому $$DC=CB$$ и $$DC=\dfrac{DB}{2}$$.

Найдём хорду $$DB$$ по теореме синусов в треугольнике $$DOB$$:

$$ \frac{DB}{\sin 120^\circ}=\frac{OB}{\sin 30^\circ} $$

Так как $$OB=4$$, то

$$ DB=\frac{4\sin 120^\circ}{\sin 30^\circ} =\frac{4\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} =4\sqrt3. $$

Теперь найдём $$OC$$:

$$ OC=\sqrt{OB^2-DC^2} =\sqrt{4^2-\left(\frac{DB}{2}\right)^2} =\sqrt{16-\left(2\sqrt3\right)^2} =\sqrt{16-12}=2. $$

Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол $$45^\circ$$, значит в прямоугольном треугольнике $$POC$$ имеем

$$ \angle PCO=45^\circ. $$

Тогда

$$ PC=\frac{OC}{\cos 45^\circ} =\frac{2}{\frac{\sqrt2}{2}} =2\sqrt2. $$

Сечение — треугольник $$PDB$$. Его площадь равна